第十五周前半。

14多变量函数的微分学.tex

@@ -84,7 +84,7 @@
 \begin{definition}
     令
     \[Jf(\bvec{x}) = (D_1 f(\bvec{x}), D_2f(\bvec{x}), \dots, D_n f(\bvec{x}))\]
-    并称它为函数$f$在点$\bvec{x}$处的Jacobian。函数的Jacobian也常记为$\gra f$或$\nabla f$，即
+    并称它为函数$f$在点$\bvec{x}$处的Jacobian。函数的Jacobian也常记为$\gra f$或$\gradient f$，即
     \[\gra f(\bvec{x}) = J f(\bvec{x})\]
     称之为数量函数$f$的梯度。
 \end{definition}

17曲线积分.tex

@@ -1,10 +1,10 @@
 \chapter{曲线积分}
-\section*{第一型曲线积分}
+\section{第一型曲线积分}
 \begin{definition}
     设$D \in \realnum^3$是一个区域，函数$f: D \to \realnum$。光滑曲线$L \in D$，其两个端点分别记为\bvec{A}和\bvec{B}。在$L$上依次取一列点$\{\bvec{p}_i: i = 0, 1, \dots, n\}$，使得$\bvec{p}_0 = \bvec{A}, \bvec{p}_n = \bvec{B}$。称$\wideparen{\bvec{p}_{i - 1}\bvec{p}_i}$为$L$的第$i$段曲线。令$\Delta s_i = s(\wideparen{\bvec{p}_{i - 1}\bvec{p}_i})$，即$L$的第$i$段曲线的弧长。在$\wideparen{\bvec{p}_{i - 1}\bvec{p}_i}$上任取一点$\bvec{\xi}_i(i = 1, 2, \dots, n)$，如果极限
     \[\tolim{\max\{\Delta s_i\}}{0} \sum_{i = 1}^n f(\bvec{\xi}_i) \Delta s_i\]
     是一个有限数，并且其值不依赖于点\bvec{\xi}在$\wideparen{\bvec{p}_{i - 1}\bvec{p}_i}$上的选择，那就把这极限值记为
-    \[\int \limits_L f(\bvec{p}) \dif x \text{或者} \int \limits_L f(x, y, z) \dif s\]
+    \[\int \limits_L f(\bvec{p}) \dif s \text{或者} \int \limits_L f(x, y, z) \dif s\]
     称之为函数$f$在$L$上的第一型曲线积分。
 \end{definition}
 
@@ -20,7 +20,7 @@
     \[\int \limits_L f \dif s = \int_\alpha^\beta f(x, \varphi(x)) \sqrt{1 + \left(\deriv{\varphi}(x)\right)^2} \dif x\eqper\]
 \end{corollary}
 
-\section*{第二型曲线积分}
+\section{第二型曲线积分}
 \begin{definition}
     设区域$D \subset \realnum^3$，在$D$上定义了一个向量值函数$\bvec{F} = \bvec{F}(\bvec{p}), \bvec{p} \in D$。这时称\bvec{F}是在$D$上定义的一个向量场。
 \end{definition}
@@ -63,3 +63,19 @@
     设$\Omega \subset \realnum^2$时由有限条分段光滑的曲线围成的闭区域，如果函数$P(x, y)$和$Q(x, y)$在$\Omega$上连续并且有连续的偏导数，那么就有
     \[\int \limits_{\partial \Omega} P \dif x + Q \dif y = \iint \limits_\Omega \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\dif x \dif y\eqper\]
 \end{theorem}
+
+\begin{example}
+    设$D$是适合Green公式的平面闭区域，则有
+    \[\sigma(D) = \int \limits_{\partial D} s \dif y = - \int \limits_{\partial D} y \dif x = \frac{1}{2} \int \limits_{\partial D} x \dif y - y \dif x\eqper\]
+\end{example}
+
+\begin{proof}
+    利用Green公式
+    \[\int \limits_{\partial D} x \dif y = \iint \limits_{D} \left(\frac{\partial x}{\partial x} - 0\right) \dif x \dif y = \iint \limits_{D} \dif \sigma\] 
+    即
+    \[\sigma(D) = \int \limits_{\partial D} x \dif y\]
+    同理有
+    \[\sigma(D) = -\int \limits_{\partial D} y \dif x\]
+    以上两式相加，得出
+    \[\sigma(D) = \frac{1}{2} \int \limits_{\partial D} x \dif y - y \dif x\eqper\]
+\end{proof}

18曲面积分.tex

@@ -95,3 +95,26 @@
 
 如果曲面$\Sigma$有显示表达$z = f(x, y), (x, y) \in D$，那么
 \[\iint \limits_\Sigma \bvec{F} \cdot \dif \bvec{\sigma} = \pm \iint \limits_{D} \left(-P \pdv{f}{x} - Q \pdv{f}{y} + R\right) \dif x \dif y\eqper\]
+
+\section{Gauss公式和Stokes公式}
+\begin{theorem}[Gauss公式]
+    设$\Omega$为空间有界闭区域，其边界$S$是分片光滑有向曲面。若向量场$\bvec{v} = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$在$\Omega$内连续可微，在$S$上连续，则有
+    \[\iint \limits_{\partial \Omega} P \dif y \wedge \dif z + Q \dif z \wedge \dif x + R \dif x \wedge \dif z = \iiint \limits_{\Omega} \left(\pdv{P}{x} + \pdv{Q}{y} + \pdv{R}{z}\right) \dif x \dif y \dif z\eqper\]
+\end{theorem}
+
+Gauss公式将一个空间比曲面上的第二型曲面积分与闭曲面所围的空间区域上的三重积分联系起来。
+
+\begin{theorem}[Stokes公式]
+    设$\bvec{v} = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$是区域$\Omega$的连续可微向量场，$S$是区域$\Omega$內的分片光滑有向曲面，其边界$\partial S$为分段光滑有向曲线，则有
+    \[\int \limits_{\partial S} P \dif x + Q \dif y + R \dif z = \iint \limits_S \left(\pdv{R}{y} - \pdv{Q}{z}\right) \dif y \dif z + \left(\pdv{P}{z} - \pdv{R}{x}\right) \dif z \dif x + \left(\pdv{Q}{x} - \pdv{P}{y}\right) \dif x \dif y\eqper\]
+
+    应用行列式的写法，Stokes公式可以表示为
+    \[\int \limits_{\partial S} X \dif x + Y \dif y + Z \dif z = \iint \limits_{\Sigma}
+    \begin{vmatrix}
+        \dif y \dif y & \dif z \dif x & \dif x \dif y\\[1ex]
+        \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\[1em]
+        P & Q & R    
+    \end{vmatrix} \eqper\]
+\end{theorem}
+
+Stokes公式将空间曲面上的第二型曲面积分与曲面边界上的第二型曲线积分联系起来。

19场的数学.tex

@@ -0,0 +1,140 @@
+\chapter{场的数学}
+如果空间区域中每一点都对应某种物理量，则称空间形成一个该物理量的场。
+
+设点集$D \subset \realnum^3$，如果有函数$f: D \to \realnum$，则称$f$是$D$上的一个数量场；如果有$\bvec{F}: D \to \realnum^3$，那么就称\bvec{F} 是$D$上的一个向量场。这就是说，$D$上的数量场，就是定义在$D$上的数量函数；
+$D$上的向量场，是指定义在$D$上的向量值函数。
+
+\section{数量场的梯度}
+令
+\[\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)\]
+设数量场$u = u(x, y, z)$连续可微，那么$u(x, y, z)$的梯度
+\[\nabla u = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z} = \gra u\]
+
+\begin{proposition}
+    设$f, g$可微$\alpha, \beta$为常数，Nabla运算满足下列规则：
+    \begin{enumerate}
+        \item $\nabla (\alpha f \pm \beta g) = \alpha \nabla f + \beta \nabla g$；
+        \item $\nabla (fg) = f \nabla g + g \nabla f$；
+        \item $\nabla \left(\dfrac{f}{g}\right) = \dfrac{g \nabla f - f \nabla g}{g^2}$，$g \neq 0$；
+        \item 设$\varphi$是单变量函数，则$\nabla \varphi \circ f = \deriv{\varphi} \circ f \nabla f$。
+    \end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+\section{向量场的散度}
+设向量场$\bvec{F} = (P, Q, R)$连续可微，定义向量场的散度
+\[\diverg \bvec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\]
+这可以形象地理解为
+\[\diverg \bvec{F} = \left(\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z}\right) \cdot (P, Q, R)\]
+因此我们利用Nabla算子可以将散度写成
+\[\diverg \bvec{F} = \nabla \cdot \bvec{F}\eqper\]
+
+\begin{proposition}
+    散度的运算满足一下规则：
+    \begin{enumerate}
+        \item 设$\alpha, \beta$为常数，那么$\nabla \cdot (\alpha \bvec{u} + \beta \bvec{v}) = \alpha \nabla \cdot \bvec{u} + \beta \nabla \cdot \bvec{v}$；
+        \item 设$f$是数量场，那么$\nabla \cdot (f \bvec{v}) = f \nabla \cdot \bvec{v} + \nabla f \cdot \bvec{v}$。
+    \end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+引入记号$\Delta = \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla$，即
+\[\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\]
+称之为Laplace算子。设$\Omega$为一区域，如果$\Omega$上的数量场$u$满足Laplace方程
+\[\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0\]
+那么称$u$是$\Omega$上的调和函数。
+
+\section{向量场的旋度}
+设连续可微的向量场$\bvec{F} = (P, Q, R)$定义向量场的旋度
+\[\rot \bvec{F} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\]
+也可以利用三阶行列式表示为
+\[\rot \bvec{F} = 
+\begin{vmatrix}
+    \bvec{i} & \bvec{j} & \bvec{k}\\[1ex]
+    \dfrac{\partial }{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\[1em]
+    P & Q & R
+\end{vmatrix}\]
+因此利用Nabla算子，上式可以写成
+\[\rot \bvec{F} = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) \times \left(P, Q, R\right) = \nabla \times \bvec{F}\eqper\]
+
+\begin{proposition}
+    旋度满足下列运算法则：
+    \begin{enumerate}
+        \item 设$\alpha, \beta$都是常数，那么$\nabla \times (\alpha \bvec{u} + \beta \bvec{v}) = \alpha \nabla \times \bvec{u} + \beta \nabla \times \bvec{v}$；
+        \item 设$f$是数量函数，则有$\nabla \times (f \bvec{v}) = f \nabla \times \bvec{v} + \nabla f \times \bvec{v}$。
+    \end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+考虑格林公式
+\[\int \limits_{\partial D} P \dif x + Q \dif y = \iint \limits_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \dif x \dif y\]
+对平面向量场$\bvec{v} = P \bvec{i} + Q \bvec{j}$，$\bvec{v} \cdot \dif \bvec{l} = P \dif x + Q \dif y$，$\rot \bvec{v} = \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) \bvec{k}$，因此格林公式可以写成
+\[\int \limits_{\partial D} \bvec{v} \cdot \dif \bvec{l} = \iint \limits_D \rot \bvec{v} \cdot \bvec{k} \dif x \dif y\]
+这称作格林公式的旋度形式。
+
+对向量场$\bvec{u} = -Q\bvec{i} + P \bvec{j}$，在区域$D$运用格林公式，有
+\[\int \limits_{\partial D} \bvec{u} \cdot \dif \bvec{l} = \iint \limits_D \rot \bvec{u} \cdot \bvec{k} \dif x \dif y\]
+在$\partial D$上任意一点$(x_0, y_0)$，设曲线在点的切向量为\bvec{\tau}，法向量为\bvec{n}。注意$\bvec{u} \perp \bvec{v}$，且$\bvec{\tau} \perp \bvec{n}$，简单画图我们可以得到
+\[\bvec{u} \cdot \bvec{\tau} = \bvec{v} \cdot \bvec{n}\]
+于是
+\begin{align*}
+    \int \limits_{\partial D} \bvec{v} \cdot \bvec{n} \dif l & = \int \limits_{\partial D} \bvec{u} \cdot \bvec{\tau} \dif l\\
+    & = \iint \limits_D \rot \bvec{u} \cdot \bvec{k} \dif x \dif y\\
+    & = \iint \limits_D \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right) \dif x \dif y\\
+    & = \iint \limits_D \diverg \bvec{v} \dif x \dif y
+\end{align*}
+格林公式就又可以写成
+\[\int \limits_{\partial D} \bvec{v} \cdot \bvec{n} \dif l = \iint \limits_D \diverg \bvec{v} \dif x \dif y\]
+这称为格林公式的散度形式。
+
+\section{有势场和势函数}
+首先，我们要引入一些概念。
+
+曲线积分
+\[\int \limits_L \bvec{v} \cdot \dif \bvec{l} = \int \limits_L P \dif x + Q \dif y\]
+的值只与曲线的起点$A$和终点$B$有关，而与曲线本身的路线无关，则称积分与路径无关。
+
+\begin{definition}
+    向量场$\bvec{F} = (P, Q, R)$定义在区域$D \subset \realnum^3$上。如果存在$D$上的一个数量场$\varphi$，满足
+    \[\gra \varphi(\bvec{p}) = \bvec{F}(\bvec{p})\]
+    对一切$\bvec{p} \in D$成立，则称向量场\bvec{F}是有势场，数量场$\varphi$叫做向量场\bvec{F}的一个势函数。
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    设\bvec{F}是定义在区域$D \subset \realnum^3$上的向量场。如果对含于$D$中的任何一条封闭曲线$\Gamma$，都有
+    \[\int \limits_\Gamma \bvec{F} \cdot \dif \bvec{l} = 0\]
+    则称\bvec{F}是$D$上的一个保守场。
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    设\bvec{F}是定义在区域$D \subset \realnum^3$上的向量场。如果
+    \[\rot \bvec{F} = \nabla \times \bvec{F} = \bvec{0}\]
+    在$D$上处处成立，则称\bvec{F}为$D$上的一个无旋场。
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    设$P(x, y)$，$Q(x, y)$在区域$D$连续，如果存在可微函数$f(x, y)$，使得$P(x, y) \dif x + Q(x, y) \dif y$是$f(x, y)$的全微分，则称$f(x, y)$是$P\dif x + Q \dif y$的一个原函数。
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+    设\bvec{F}是定义在区域$D \subset \realnum^3$上的一个向量场，那么下面三条叙述等价：
+    \begin{enumerate}
+        \item \bvec{F}是有势场；
+        \item \bvec{F}是无旋场；
+        \item \bvec{F}是保守场。
+    \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}
+    设\bvec{F}是区域$\Omega$上的有势场，如果不计较常数加项，那么势函数是唯一的。
+\end{theorem}
+
+与向量场的势函数密切相关的是所谓恰当微分形式的概念。设
+\[P(x, y, z) \dif x + Q(x, y, z) \dif y + R(x, y, z) \dif z\]
+是定义在开集$D \subset \realnum^3$上的微分形式，如果存在$D$上的一个$0-$形式$\varphi$使得
+\[\dif \varphi = P \dif x + Q \dif y + R \dif z\]
+在$D$上处处成立，那么这个$1-$形式$P \dif x + Q \dif y + R \dif z$成为$D$上的一个恰当微分形式或简称恰当微分。
+
+求势函数主要有三种方法：
+\begin{enumerate}
+    \item 利用积分与路径无关，直接平行于坐标轴积分；
+    \item 凑微分，直接得出对应的原函数；
+    \item 求不定积分，任意选择一点为起点积分。
+\end{enumerate}

20含参变量积分.tex

@@ -0,0 +1,25 @@
+\chapter{含参变量积分}
+\begin{definition}
+    设二元函数$f(x, u)$在闭矩形$I = [a, b] \times [\alpha, \beta]$上连续，那么对于固定的$u \in [\alpha, \beta]$，函数$f(x, u)$对变量$x$在$[a,b]$上Riemann可积，这时称积分
+    \[\int_a^b f(x, u) \dif x\]
+    是含参变量$u$的常义积分。如果对于固定的$u$，$f(x, u)$是变量$x$在$[a, b]$中的无界函数，或者$[a, b]$是一个无限区间，则称相应的积分是含参变量$u$的反常积分。
+\end{definition}
+
+\section{含参变量的常义积分}
+\begin{theorem}
+    如果函数$f(x, u)$在闭矩形$I = [a, b] \times [\alpha, \beta]$上连续，那么
+    \[\varphi(u) = \int_a^b f(x, u) \dif x\]
+    在区间$[\alpha, \beta]$上一致连续。
+\end{theorem}
+
+\begin{remark}
+    这意味着
+    \[\tolim{t}{t_0} \int_\alpha^\beta f(x, t) \dif x = \int_\alpha^\beta \tolim{t}{t_0} f(x, t) \dif x\]
+\end{remark}
+
+\begin{theorem}
+    如果函数$f$及其偏导数$\dfrac{\partial f}{\partial u}$都在闭矩形$I = [a, b] \times [\alpha, \beta]$上连续，那么函数
+    \[\varphi(u) = \int_a^b f(x, u) \dif x\]
+    在$[\alpha, \beta]$上可微，而且
+    \[\dfrac{\dif}{\dif u} \varphi(u) = \int_a^b \left(\frac{\partial}{\partial u} f(x, u)\right)\dif x\eqper\]
+\end{theorem}

高等微积分.tex

@@ -64,10 +64,14 @@
 \newcommand{\ndreal}{\ensuremath{\realnum^n}}
 \newcommand{\boldf}{\ensuremath{\bvec{f}}}
 \renewcommand{\parallel}{\mathrel{/\mskip-2.5mu/}}
+\renewcommand{\gradient}{\nabla}
+\renewcommand{\divergence}{\nabla \cdot}
 
 \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
 \DeclareMathOperator{\gra}{grad}
 \DeclareMathOperator{\diam}{diam}
+\DeclareMathOperator{\diverg}{div}
+\DeclareMathOperator{\rot}{rot}
 
 \DeclareSymbolFont{ugmL}{OMX}{mdugm}{m}{n}
 \DeclareMathAccent{\wideparen}{\mathord}{ugmL}{"F3}
@@ -107,4 +111,6 @@
     \include{16多重积分.tex}
     \include{17曲线积分.tex}
     \include{18曲面积分.tex}
+    \include{19场的数学.tex}
+    \include{20含参变量积分.tex}
 \end{document}