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\chapter{含参变量积分}
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\begin{definition}
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设二元函数$f(x, u)$在闭矩形$I = [a, b] \times [\alpha, \beta]$上连续，那么对于固定的$u \in [\alpha, \beta]$，函数$f(x, u)$对变量$x$在$[a,b]$上Riemann可积，这时称积分
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\[\int_a^b f(x, u) \dif x\]
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是含参变量$u$的常义积分。如果对于固定的$u$，$f(x, u)$是变量$x$在$[a, b]$中的无界函数，或者$[a, b]$是一个无限区间，则称相应的积分是含参变量$u$的反常积分。
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\end{definition}
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\section{含参变量的常义积分}
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\begin{theorem}
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如果函数$f(x, u)$在闭矩形$I = [a, b] \times [\alpha, \beta]$上连续，那么
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\[\varphi(u) = \int_a^b f(x, u) \dif x\]
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在区间$[\alpha, \beta]$上一致连续。
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\end{theorem}
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\begin{remark}
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这意味着
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\[\tolim{t}{t_0} \int_\alpha^\beta f(x, t) \dif x = \int_\alpha^\beta \tolim{t}{t_0} f(x, t) \dif x\]
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\end{remark}
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\begin{theorem}
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如果函数$f$及其偏导数$\dfrac{\partial f}{\partial u}$都在闭矩形$I = [a, b] \times [\alpha, \beta]$上连续，那么函数
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\[\varphi(u) = \int_a^b f(x, u) \dif x\]
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在$[\alpha, \beta]$上可微，而且
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\[\dfrac{\dif}{\dif u} \varphi(u) = \int_a^b \left(\frac{\partial}{\partial u} f(x, u)\right)\dif x\eqper\]
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\end{theorem} |