第三周。

11函数列与函数项级数.tex

@@ -143,3 +143,92 @@
 \end{proof}
 
 最后，注意$T \in C(I)$，因此$S \in C^1(I)$。
+
+\section{幂级数及其收敛域}
+\begin{definition}[幂级数]
+    形如
+    \[\sum_{n = 1}^\infty a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0)^2 + a_3 (x - x_0)^3 + \dots\]
+    的级数称为幂级数。其中$\{a_n\}$称为系数数列，$x_0 \in \realnum$固定，$x \in \realnum$为函数自变量。
+
+    为了简化起见，一般只研究$x_0 = 0$的情形。对于其它的情况，做平移$y = x - x_0$即可。
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}[Abel第一定理]
+    考虑幂级数$\dsum_{n = 0}^\infty a_n(x - x_0)^n$。
+    \begin{enumerate}
+        \item 如果在$x = x_1$幂级数收敛，则对于所有的$\abs{x - x_0} < \abs{x_1 - x_0}$，$\dsum_{n = 0}^\infty a_n (x - x_0)^n$绝对收敛；
+        \item 如果在$x = x_2$幂级数发散，则对与所有的$\abs{x - x_0} > \abs{x_2 - x_0}$，$\dsum_{n = 0}^\infty a_n (x - x_0)^n$发散。
+    \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    只需证1。一致$\dsum_{n = 0}^\infty a_n (x_1 - x_0)^n$收敛，不妨令$x_1 \neq x_0$。取$\abs{x - x_0} < \abs{x_1 - x_0}$，考察
+    \[\abs{a_n(x - x_0)^n} = \abs{a_n (x_1 - x_0)^n \frac{(x - x_0)^n}{(x_1 - x_0)^n}} \leq \abs{a_n (x_1 - x_0)^n} \cdot \abs{\frac{x - x_0}{x_1 - x_0}}^n\]
+    收敛级数的通项趋于零，因此存在$M > 0$，使得对任意的$n$，有$\abs{a_n (x_1 - x_0)^n} \leq M$。那么
+    \[\abs{a_n (x - x_0)^n} \leq Mh^n, \quad h = \abs{\frac{x - x_0}{x_1 - x_0}} < 1\]
+    应用比较判别法可得$\dsum_{n = 1}^\infty a_n(x - x_0)^n$绝对收敛。
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}
+    以$\dsum_{n = 0}^\infty a_n x^n$为例
+    \begin{enumerate}
+        \item $\dsum_{n = 0}^\infty a_n x_0^n$收敛，则$\dsum_{n = 0}^\infty a_n x^n$在$(-\abs{x_0}, \abs{x_0})$上点点绝对收敛；
+        \item $\dsum_{n = 0}^\infty a_n x_0^n$发散，则$\dsum_{n = 0}^\infty a_n x^n$在$\abs{x} > \abs{x_0}$上点点发散；
+        \item 存在$\rho \in [0, +\infty]$使得$\dsum_{n = 0}^\infty a_n x^n$在$(-\rho, \rho)$上点点绝对收敛，在$\abs{x} > \rho$上点点发散，称此$\rho$为幂级数的收敛半径；
+        \item $\dsum_{n = 0}^\infty a_n x_0^n$收敛，则$\dsum_{n = 0}^\infty a_n x^n$的收敛半径$\rho \geq \abs{x_0}$；
+        \item $\dsum_{n = 0}^\infty a_n x_0^n$发散，则$\dsum_{n = 0}^\infty a_n x^n$的收敛半径$\rho \leq \abs{x_0}$；
+        \item $\dsum_{n = 0}^\infty a_n x_0^n$条件收敛，则$\dsum_{n = 0}^\infty a_n x^n$的收敛半径$\rho = \abs{x_0}$；
+        \item $\dsum_{n = 1}^\infty a_n x^n, \dsum_{n = 0}^\infty b_n x^n$的收敛半径分别为$\rho_1, \rho_2$，则
+        \[\begin{cases}
+            \sum_{n = 0}^\infty (a_n + b_n)x^n\text{的收敛半径}\rho \geq \min \{\rho_1, \rho_2\} \text{；}\\
+            \sum_{n = 0}^\infty a_n b_n x^n\text{的收敛半径}\rho \geq \rho_1 \rho_2\eqper
+        \end{cases}\]
+    \end{enumerate}
+\end{corollary}
+
+\begin{theorem}[Abel第二定理]
+    $\dsum_{n = 0}^\infty a_n x^n$在其收敛区间的端点$x = \rho$（或$x = -\rho$）收敛，则对任意的$0 < r < \rho$，该级数在$[-r, \rho]$（或$[-\rho, r]$）上一致收敛。
+\end{theorem}
+
+\begin{remark}
+    \begin{enumerate}
+        \item $\dsum_{n = 0}^\infty a_n x^n$的收敛域为区间，且形如$(-\rho, \rho), (-\rho, \rho], [-\rho, \rho), [-\rho, \rho], (-\infty, +\infty)$或$\{0\}$；
+        \item $\dsum_{n = 0}^\infty a_n x^n$在其收敛域上内闭一致收敛。
+    \end{enumerate}
+\end{remark}
+
+\section{幂级数的收敛半径}
+下面主要讨论幂级数的收敛半径的计算方法。
+
+第一种方法是利用柯西根式判别法。考察
+\[\tolim{n}{\infty} \sup \sqrt[n]{\abs{a_n (x - x_0)^n}} = \tolim{n}{\infty} \sup \sqrt[n]{\abs{a_n}} \abs{x - x_0}\]
+只要极限小于1即收敛。
+
+第二种方法是利用D'Alembert比值判别法。考察
+\[\tolim{n}{\infty} \abs{\frac{a_{n + 1} (x - x_0)^{n + 1}}{a_n (x - x_0)^n}} = \tolim{n}{\infty} \abs{\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \abs{x - x_0}\]
+只要极限小于1即收敛。
+
+综合起来，即为
+\begin{enumerate}
+    \item 设$\tolim{n}{\infty} \sup \sqrt[n]{\abs{a_n}} = \rho$，则
+    \(R = \dfrac{1}{\rho} 
+    \begin{cases}
+        \rho = 0 \Leftrightarrow R = +\infty\\
+        \rho = +\infty \Leftrightarrow R = 0
+    \end{cases}\)；
+    \item 如果$\tolim{n}{\infty} \abs{\frac{a_{n + 1}}{a_n}} = \rho$，则
+    \(R = \dfrac{1}{\rho} 
+    \begin{cases}
+        \rho = 0 \Leftrightarrow R = +\infty\\
+        \rho = +\infty \Leftrightarrow R = 0
+    \end{cases}\)。
+\end{enumerate}
+
+\section{幂级数的光滑性}
+\begin{proposition}[内闭一致收敛]
+    设$\dsum_{n = 0}^\infty a_n (x - x_0)^n$的收敛半径为$R > 0$。那么对任意的$r \in (0, R)$，幂级数在$\abs{x - x_0} \leq r$上一致收敛。
+\end{proposition}
+
+\begin{proposition}
+    给定幂级数$\dsum_{n = 0}^\infty a_n (x - x_0)^n$，设其收敛半径为$R > 0$，则在$\abs{x - x_0} < R$内，其和函数有任意阶导数且，各项逐项求导后$\dsum_{n = 0}^\infty na_n (x - x_0)^{n - 1}$与逐项积分后$\dsum_{n = 0}^\infty \dfrac{a_n}{n + 1} (x - x_0)^{n + 1}$的级数的收敛半径不变。
+\end{proposition}