反常积分。

07函数的积分.tex

@@ -492,7 +492,7 @@ C^n [a,b] = \{f \in C[a,b] \mid f^{(n)} \in C[a,b]\}\]
     因此$f \in R[a,b]$。
 \end{proof}
 
-\section{Legesgue定理}
+\section{Lebesgue定理}
 \begin{definition}
     定义函数$f$的间断点集$D(f) = \{x_0 \in [a,b] \mid f\text{在}x_0\text{间断}\}$。
 \end{definition}
@@ -519,7 +519,7 @@ C^n [a,b] = \{f \in C[a,b] \mid f^{(n)} \in C[a,b]\}\]
 换言之，有界函数可积的充要条件是其所有间断点总长度为0。
 
 \begin{corollary}
-    容易由Legesgue定理得到以下结论：
+    容易由Lebesgue定理得到以下结论：
     \begin{enumerate}
         \item 若$f \in R[a,b]$，则$\vert f \vert \in R[a,b]$；
         \item 若$f, g \in R[a,b]$，则$fg \in R[a,b]$；
@@ -534,4 +534,116 @@ C^n [a,b] = \{f \in C[a,b] \mid f^{(n)} \in C[a,b]\}\]
 \begin{proof}
     注意$D(f) \cap [a,c] \subset D(f)$，$D(f) \cap [c,b] \subset D(f)$，以及
     \[D(f) = \left(D(f) \cap [a,c]\right)\cup\left(D(f) \cap [c,b]\right)\eqper\]
+\end{proof}
+
+\section{反常积分}
+前述的积分都是研究有界函数在有限区间上的积分，如果突破这两个限制，将得到反常积分。
+
+\subsection{无穷积分}
+设$f:[a, +\infty) \to \realnum$，且$\forall A > a, f \in R[a,A]$。定义
+\[\int_a^{+\infty} f(x) \dif x := \tolim{A}{+\infty} \int_a^A f(x) \dif x\]
+若极限存在，则称该无穷积分收敛，否则称其发散。
+
+类似地，我们可对$f: (-\infty, b] \to \realnum$定义
+\[\int_{-\infty}^b f(x) \dif x := \tolim{B}{-\infty} \int_B^b f(x) \dif x\]
+也可对$f: (-\infty, +\infty) \to \realnum$定义
+\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \dif x := \int_{-\infty}^a f(x) \dif x + \int_a^{+\infty} f(x) \dif x, a \in \realnum \text{任取}\]
+
+\begin{remark}
+    另外可定义Principal Value主值，其收敛性较弱：
+    \[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \dif x := \tolim{A}{\infty} \int_{-A}^A f(x) \dif x \eqper\]
+\end{remark}
+
+\begin{example}
+    研究$\dint_1^{+\infty} \frac{\dif x}{x^p}$的收敛性。
+\end{example}
+
+\begin{proof}[解]
+    对任意的$A > 1$，
+
+    若$p \neq 1$，
+    \[\int_1^A \frac{\dif x}{x^p} = \frac{1}{1 - p} \eval{x^{1-p}}_1^A = \frac{A^{1-p} - 1}{1 - p} \to
+    \begin{cases}
+        \frac{1}{p-1} & p > 1\\
+        +\infty & p < 1
+    \end{cases} (A \to +\infty)\]
+
+    若$p = 1$，则
+    \[\int_1^A \frac{\dif x}{x} = \eval{\ln x}_1^A = \ln A \to +\infty (A \to +\infty)\]
+
+    综上，当$p > 1$时无穷积分收敛，
+    \[\int_1^{+\infty} \frac{\dif x}{x^p} = \frac{1}{p-1}\]
+    当$p \leq 1$时无穷积分$\dint_a^{+\infty} \dfrac{\dif x}{x^p}$发散到无穷。
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}[广义Newtown-Leibniz公式]
+    设$f \in C[a,+\infty)$有原函数$F \in C[a,+\infty)$，则
+    \[\int_a^{+\infty} f(x) \dif x = \eval{F(x)}_a^{+\infty} = \tolim{x}{+\infty} F(x) - F(a)\eqper\]
+    相应地，有
+    \[\int_{-\infty}^b f(x) \dif x = \eval{F(x)}_{-\infty}^b = F(b) - \tolim{x}{-\infty}F(x)\]
+    \[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \dif x = \eval{F(x)}_{-\infty}^{+\infty} = \tolim{x}{+\infty}F(x) - \tolim{x}{-\infty}F(x)\eqper\]
+\end{theorem}
+
+分部积分、换元、积分的线性性质、保序性、积分区间可加性仍然成立。
+
+\subsection{瑕积分}
+接下来我们讨论无界函数的积分。
+
+\begin{definition}
+    $f$在$[a,b)$上有定义，在$b$点附近无界。此时，称$x = b$为$f$的一个瑕点。若$\forall \delta \in (0,b-a)$，$f \in R[a,b-\delta]$，且
+    \[\tolim{\delta}{0^+} \int_a^{b - \delta} f(x) \dif x = I\eqco\]
+    则称$f$在$[a,b)$上的瑕积分收敛，称$I$为$f$在$[a,b)$上的瑕积分（值），记作
+    \[\int_a^b f(x) \dif x = \tolim{\delta}{0^+}\int_a^{b - \delta} f(x) \dif x\eqper\]
+    若该极限不存在，则称瑕积分$\int_a^b f(x) \dif x$发散。
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    $f$在$(a,b)$上有定义，且$a,b$为瑕点。若$\exists c \in (a,b)$，满足瑕积分$\int_a^c f(x) \dif x$与$\int_c^b f(x) \dif x$均收敛，则
+    \[\int_a^b f(x) \dif x := \int_a^c f(x) \dif x + \int_c^b f(x) \dif x\]
+    此时，
+    \[\int_a^b f(x) \dif x = \int_a^d f(x) \dif x + \int_d^b f(x) \dif x, \forall d \in (a,b)\]
+    \begin{align*}
+        \int_a^b f(x) \dif x & = \tolim{\alpha}{a^+} \int_\alpha^c f(x) \dif x + \tolim{\beta}{b^-} \int_c^\beta f(x) \dif x\\
+        & = \lim \limits_{\alpha \to a^+, \beta \to b^-} \int_\alpha^\beta f(x) \dif x
+    \end{align*}
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}[Riemann-Lebesgue]
+    $f$在$[a,b]$上可积或广义绝对可积（$f$与$\vert f \vert$均在$[a,b]$上广义可积），则
+    \[\tolim{\lambda}{\infty} \int_a^b f(x) \cos \lambda x \dif x = 0, \tolim{\lambda}{\infty} \int_a^b f(x) \sin \lambda x \dif x = 0\eqper\]
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    只证第一式，第二式同理。
+
+    \emph{情况一：}设$f$在$[a,b]$上可积，则$f$在$[a,b]$上有界，设其上界为$M$，那么
+    \[\forall x \in [a,b], \vert f(x) \leq M\]
+    对任意的$\lambda > 1$，令$n = \left\lfloor \lambda \right\rfloor$。将$[a,b]$区间$n$等分，有
+    \[x_i = a + i\frac{b-a}{n}, i = 0, 1, 2, \cdots, n\]
+    设
+    \[\omega_i(f) = \sup \{f(\xi) - f(\eta) \mid \xi, \eta \in[x_{i-1}, x_i]\}\]
+    $f$在$[a,b]$上可积，则$\tolim{n}{\infty} \displaystyle\sum_{i=1}^n \omega_i(f) \Delta x_i = 0$。那么
+    \begin{align*}
+        \left|\int_a^b f(x) \cos \lambda x \dif x \right| & = \left| \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) \cos \lambda x \dif x \right|\\
+        & \leq \left| \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} \left(f(x) - f(x_i)\right)\cos \lambda x \dif x \right| + \left|\sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x_i) \cos \lambda x \dif x\right|\\
+        & \leq \sum_{i=1}^n \omega_i(f) \Delta x_i + \sum_{i=1}^n \left|f(x_i)\right|\left|\int_{x_{i-1}}^{x_i} \cos \lambda x \dif x\right|\\
+        & \leq \sum_{i=1}^n \omega_i(f) \Delta x_i + \frac{2Mn}{\lambda}\\
+        & = \sum_{i=1}^{\left\lfloor \lambda \right\rfloor} \omega_i(f) \Delta x_i + \frac{2M \left\lfloor \lambda \right\rfloor}{\lambda}
+    \end{align*}
+    当$\lambda \to +\infty$时，上式趋近于0。
+
+    \emph{情况二：}$f$在$[a,b]$上广义绝对可积。不妨设$a$为唯一的瑕点。那么$\forall \varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，满足$f$在$[a+\delta, b]$可积，且
+    \[\int_a^{a + \delta} \vert f(x) \vert \dif x < \frac{\varepsilon}{2}\]
+    从而
+    \[\left|\int_a^{a + \delta} f(x) \cos \lambda x \dif x \right| \leq \int_a^{a + \delta} \vert f(x) \vert \dif x < \frac{\varepsilon}{2}\]
+    因此
+    \[\tolim{\lambda}{+ \infty} \int_{a + \delta}^b f(x) \cos \lambda x \dif x = 0\eqper\]
+
+    于是$\exists \Lambda > 0$，当$\lambda > \Lambda$时，
+    \[\left|\int_{a+ \delta}^b f(x) \cos \lambda x \dif x \right| < \frac{\varepsilon}{2}\]
+    进一步有对任意的$\lambda > \Lambda$，
+    \begin{align*}
+        \left|\int_a^b f(x) \cos \lambda x \dif x \right| & \leq \left|\int_a^{a + \delta} f(x) \cos x \lambda x \dif x \right| + \left|\int_{a + \delta}^b f(x) \cos \lambda x \dif x \right|\\
+        & < \frac{\varepsilon}{2} = \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\eqper \qedhere
+    \end{align*}
 \end{proof}