第三周。

01实数和数列极限.tex

@@ -456,7 +456,7 @@
 \[a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n, b_n = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{n!}\]
 
 \begin{theorem}\label{Definition of e}
-    $\toinf a_n = a$与$\toinf b_n = b$均存在，且$a=b$，今后记为$\mathe$。
+    $\toinf a_n = a$与$\toinf b_n = b$均存在，且$a=b$，今后记为$e$。
 \end{theorem}
 
 \begin{lemma}\label{e lemma 1}
@@ -686,7 +686,7 @@
     同样，若$E \cap \left[\dfrac{a_1 + b_1}{2}, b_1\right]$非空，取$[a_2, b_2] = \left[\dfrac{a_1 + b_1}{2}, b_1\right]$；否则，取$[a_2, b_2] \\ = \left[a_1, \dfrac{a_1 + b_1}{2}\right]$。
 
     依此类推，得到数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$，它们具有以下性质：
-    \begin{enumerate}[label=(a)]
+    \begin{enumerate}[label=(\alph{*})]
         \item $\{a_n\}$单调增，$\{b_n\}$单调减，且$a_n \leq b_n, n = 1, 2, \cdots$；\label{sup inf prove a}
         \item $b_n - a_n = \dfrac{b_0 - a_0}{2^n}, n = 1, 2, \cdots$；\label{sup inf prove b}
         \item $E \cap [a_n, b_n]$非空，$b_n$是$E$上界，$n = 1, 2, \cdots$。\label{sup inf prove c}
@@ -700,3 +700,125 @@
 \end{proof}
 
 回忆约定：若$E$无上界，则记$\sup E = + \infty$；若$E$无下界，则记$\inf E = - \infty$。
+
+\begin{example}
+    证明：若$\vert x_n - x_{n+p} \vert \leq \dfrac{p}{n^2} \eqco \forall p, n \in \mathbb{N}$，则$\{x_n\}$为柯西列。
+\end{example}
+
+\begin{proof}
+    $\vert x_n - x_{n+p} \vert \leq \dfrac{p}{n^2} \eqco \forall p, n \in \mathbb{N}$，则$\vert x_n - x_{n+1} \leq \dfrac{1}{n^2} \eqco \forall n$。于是$\forall p, n > 1$
+    \[
+        \begin{aligned}
+            \vert x_n - x_{n+p} \vert & \leq \vert x_n - x_{n+1} \vert + \vert x_{n+1} - x_{n+2} \vert + \cdots + \vert x_{n+p-1} - x_{n+p} \vert \\
+            & \leq \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{1}{(n+p-1)^2}\\
+            & \leq \frac{1}{n(n-1)} + \cdots + \frac{1}{(n+p-1)(n+p-2)}\\
+            & = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+p-1}\\
+            & < \frac{1}{n-1} \eqper
+        \end{aligned}
+    \]
+\end{proof}
+
+证明的核心思想是通过放缩把$n, p$两个任意的数只留下一个，这样就可以说明他在什么情况下一定小于一个$\varepsilon$。
+
+\section{实数理论六大原理}
+\begin{enumerate}
+    \item 单调性原理
+    \item 确界原理
+    \item Bolzano-Weirstrass列紧原理
+    \item Cauchy收敛原理
+    \item 区间套原理
+    \item Heine-Borel有限覆盖原理
+    \item 有界无穷集必有聚点
+\end{enumerate}
+
+\begin{theorem}[闭区间套定理]
+    若闭区间列$[a_n, b_n]$满足条件：
+    \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
+        \item $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n](n = 1, 2, \cdots)$
+        \item $\toinf (b_n - a_n) = 0$
+    \end{enumerate}
+    则$\exists ! \xi \in \mathbb{R}$，s.t. $\xi \in \bigcap \limits_{n \geq 1}[a_n, b_n]$，$\toinf a_n = \toinf b_n = \xi$。
+\end{theorem}
+
+可以由单调收敛原理证明闭区间套原理：
+\begin{proof}
+    存在性：由$[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n]$，有$\{a_n\}$单增，$\{b_n\}$单减，且$\forall n, a_1 \leq a_n \leq b_n \leq b_1$。
+
+    由单调收敛原理，$\toinf a_n$与$\toinf b_n$存在。有因为$\toinf (b_n - a_n) = 0$，因此
+    \[\toinf a_n = \toinf b_n := \xi \eqper\]
+
+    设$\exists a_k > \xi$。因为$\{a_n\}$单增，有$\forall n > k, a_n \geq a_k > \xi$。这与$\toinf a_n = \xi$矛盾。因此$\forall n, a_n \leq \xi$。同理，有$\forall n, \xi \leq b_n$。因此
+    \[\forall n, a_n \leq \xi \leq b_n \eqper\]
+
+    唯一性：设$\forall n, a_n \leq \eta \leq b_n$。由极限的保序性，有
+    \[\toinf a_n \leq \eta \leq \toinf b_n \eqper\]
+    而
+    \[\toinf a_n = \toinf b_n = \xi \eqco\]
+    因此$\eta = \xi$。
+\end{proof}
+
+也可以由闭区间套定理证明Bolzano-Weirstrass定理：
+\begin{proof}
+    设$\{x_n\}$为有界数列。则$\exists a_1 < b_1$，满足$\forall n, x_n \in [a_1, b_1]$。用$\dfrac{a_1 + b-1}{2}$将$[a_1, b_1]$分为两个区间，则其中至少有一个包含$\{x_n\}$的无穷多项，记为$[a_2, b_2]$，再用$\dfrac{a_2 + b_2}{2}$将$[a_2, b_2]$分为两个区间，其中至少有一个包含$\{x_n\}$的无穷多项，记为$[a_3, b_3]$。如此继续，得到区间序列$[a_n, b_n], n=1,2, \cdots$，满足
+    \[[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n](n = 1, 2, \cdots)\]
+    且
+    \[\toinf (b_n - a_n) = \toinf \frac{b_1 - a_1}{2^{n-1}} = 0 \eqper\]
+
+    由闭区间套定理，$\exists ! \xi \in \bigcap \limits_{n \geq 1} [a_n, b_n]$，且$\toinf a_n = \toinf b_n = \xi$。
+
+    $[a_1, b_1]$中包含\setname{X_n}的无穷多项，因此$\exists x_{n_1} \in [a_1, b_1]$。$[a_2, b_2]$中包含\setname{X_n}的无穷多项，因此$\exists X_{n_2} \in [a_1, b_2]$且$n_2 > n_1$。依次做下去，$\exists x_{n_{k+1}} \in [a_{k+1}, b_{k+1}]$且$n_{k+1} > n_k$。由此可以得到\setname{X_n}的子列\setname{X_{n_k}}，满足$\forall k, a_k \leq x_{n_k} \leq b_k$。令$k \to \infty$，由夹逼原理得
+    \[\lim \limits_{k \to \infty} x_{n_k} = \lim \limits_{k \to \infty} a_k = \lim \limits_{k \to \infty} b_k = \xi \eqper\]
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}[有限覆盖定理]
+    若闭区间$[a, b]$被开区间系$\Sigma = \{\sigma\}$覆盖（即$[a, b] \subseteq \bigcup \limits_{\sigma \in \Sigma} \sigma$），则存在有限子系$\Sigma^\ast = \{\sigma_1, \cdots, \sigma_n\} \subseteq \Sigma$使得$[a, b] \subseteq \bigcup \limits_{k = 1}^n \sigma_k$。
+\end{theorem}
+
+我们可以用区间套定理证明有限覆盖定理。
+\begin{proof}
+    用反证法。假设不然，即$[a, b]$不能被$\Sigma$中有限个开区间覆盖。将区间$[a, b]$等分为两半，其中至少有一个区间不能被$\Sigma$中有限个开区间覆盖，将这样的区间记作$[a_1, b_1]$。再将$[a_1, b_1]$等分为两半，其中至少有一个区间不能被$\Sigma$中的有限个开区间覆盖。将这个区间记为$[a_2, b_2]$……
+
+    这样我们得到区间套\setname{[a_k, b_k]}。由区间套定理知道，存在唯一的点$c \in \bigcap \limits_{k=1}^\infty [a_k, b_k]$。因为$\Sigma$覆盖区间$[a, b]$，所以$\exists \sigma \in \Sigma$使得$c \in \sigma$。又因为$\lim \limits_{k \to \infty}(b_k - a_k) = 0 \eqco c \in \bigcap \limits_{k = 1}^\infty [a_k, b_k]$，所以$\exists k$使得$[a_k , b_k] \subset \sigma$（$\sigma$的上下界是一定的，而$[a_k , b_k]$是可以无限小的，因此只要$k$足够大，就一定能让$[a_k , b_k]$包含在$\sigma$里面）。
+
+    这与区间套的构作方式矛盾。
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[临域]
+    点$x_0$的$\delta$临域是指与点$x_0$距离小于$\delta$的点的集合$U(x_0, \delta) = \{x \vert \vert x - x_0 \vert < \delta\}$，即开区间$(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$。    
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[聚点]
+    设集合$A \subseteq \mathbb{R} \eqco a \in \mathbb{R}$。若$\forall \delta > 0$，$a$的$\delta$临域中都含有$A$中无穷多个点，则称$a$是$A$的一个聚点。
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+    $a$是$A$的一个聚点的充要条件是$\forall \delta > 0$，$a$的$\delta$临域中都含有$A$中异于$a$的点。
+\end{proposition}
+
+\begin{theorem}
+    有界无穷集必有聚点。
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    设$A$是有界无穷集。任取$x_1 \in A$。
+
+    $A \setminus \{x_1\}$是有界无穷集，任取$x_2 \in A \setminus \{x_1\}$。
+
+    $A \setminus \{x_1, x_2\}$是有界无穷集，任取$x_3 \in A \setminus \{x_1, x_2\}$。
+
+    ……
+
+    数列\setname{X_n}有界，从而有收敛子列，记$\lim \limits_{k \to \infty} x_{n_k} = a$。
+    
+    下证$a$是$A$的一个聚点。$\forall \delta > 0 \exists K, \forall k > K, \vert x_{n_k} - a \vert < \delta$。即$a$的$\delta$临域含有$A$中的无穷多个点$x_{n_{K}}, x_{n_{K+1}}, \cdots$。
+\end{proof}
+
+\section{Stolz定理——一类数列极限的计算}
+\begin{theorem}[Stolz定理]
+    设\setname{a_n}为一数列，若：
+    \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
+        \item \setname{b_n}严格单调增，且$\toinf b_n = +\infty$，$\toinf \dfrac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = A$或
+        \item \setname{b_n}严格单调减且$\toinf a_n = \toinf b_n = 0$，$\toinf \dfrac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = A$，
+    \end{enumerate}
+    则$\toinf \dfrac{a_n}{b_n} = A$。
+\end{theorem}