第四周第1节。
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01实数和数列极限.tex
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01实数和数列极限.tex
@@ -2,18 +2,18 @@
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\section{实数及其性质}
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\begin{definition}[通用记号约定]
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数集：\par
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$\mathbb{N}$——自然数全体，关于加法和乘法运算封闭；\par
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$\mathbb{Z}$——整数全体，自然数集的扩充，$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$。关于加法的逆运算（减法）也封闭；\par
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$\naturalnum$——自然数全体，关于加法和乘法运算封闭；\par
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$\integer$——整数全体，自然数集的扩充，$\naturalnum \subset \integer$。关于加法的逆运算（减法）也封闭；\par
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$\mathbb{Q}$——有理数全体，整数集的扩充。关于加、乘及其逆运算（减、除）封闭；\par
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$\mathbb{R}$——实数全体，有理数集的扩充，关于极限运算封闭。
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$\realnum$——实数全体，有理数集的扩充，关于极限运算封闭。
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\end{definition}
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\begin{theorem}[有理数的稠密性]
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$\forall a, b \in \mathbb{R}$，$a < b$，$\exists r \in \mathbb{Q}$，s.t. $a < r < b$。
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$\forall a, b \in \realnum$，$a < b$，$\exists r \in \mathbb{Q}$，s.t. $a < r < b$。
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\end{theorem}
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\begin{definition}[上界、下界、有界、无界]
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$A$为非空数集。若$\exists M \in \mathbb{R}$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \leq M$，则称$M$为$A$的一个\textbf{上界}。若$\exists m \in R$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \geq m$，则称$m$为$A$的一个\textbf{下界}。若$A$既有上界又有下界，则称 $A$ \text{有界}，否则称 $A$ \textbf{无界}。
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$A$为非空数集。若$\exists M \in \realnum$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \leq M$，则称$M$为$A$的一个\textbf{上界}。若$\exists m \in R$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \geq m$，则称$m$为$A$的一个\textbf{下界}。若$A$既有上界又有下界，则称 $A$ \text{有界}，否则称 $A$ \textbf{无界}。
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\end{definition}
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\begin{definition}[上确界$\sup A$、下确界$\inf A$]
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@@ -35,7 +35,7 @@
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\section{数列和收敛数列}
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\subsection{收敛和发散}
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\begin{definition}[收敛]
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设数列$\{ a_n \}$，$a \in \mathbb{R}$。若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使得$\forall n > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$则称数列数列$\{ a_n \}$\textbf{收敛}于$a$（$n$趋于无穷时），记为$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$或$a_n \to a \ (n \to \infty)$。$a$称为$\{ a_n \}$的极限。
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设数列$\{ a_n \}$，$a \in \realnum$。若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使得$\forall n > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$则称数列数列$\{ a_n \}$\textbf{收敛}于$a$（$n$趋于无穷时），记为$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$或$a_n \to a \ (n \to \infty)$。$a$称为$\{ a_n \}$的极限。
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\end{definition}
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\begin{definition}[发散]
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@@ -45,7 +45,7 @@
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收敛的含义：对于$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$，
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\begin{enumerate}
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\item $\forall \varepsilon > 0$……$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$：$\varepsilon$可以任意小；
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\item $\exists n_0 \in \mathbb{N}$：$n$可能与$\varepsilon$有关；
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\item $\exists n_0 \in \naturalnum$：$n$可能与$\varepsilon$有关；
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\item $\forall n > n_0$：$n$充分大之后。
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\end{enumerate}
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综上，只要$n$充分大，就能使$a_n$任意接近$a$。
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@@ -120,11 +120,11 @@
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\begin{remark}
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$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = A$\par
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$\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$\par
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$\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n \geq N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \varepsilon$\par
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$\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < k\varepsilon$（$k$为任意正常数）\par
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$\Leftrightarrow \forall \varepsilon \in (0,1)$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$（强调$\varepsilon$``任意地小''的部分而不强调``任意地大''的部分）\par
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$\Leftrightarrow \forall k \in \mathbb{N}$, $\exists N = N(k) \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \dfrac{1}{k}$。
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$\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \naturalnum$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$\par
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$\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \naturalnum$, s.t. 当$n \geq N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \varepsilon$\par
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$\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \naturalnum$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < k\varepsilon$（$k$为任意正常数）\par
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$\Leftrightarrow \forall \varepsilon \in (0,1)$, $\exists N \in \naturalnum$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$（强调$\varepsilon$``任意地小''的部分而不强调``任意地大''的部分）\par
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||||
$\Leftrightarrow \forall k \in \naturalnum$, $\exists N = N(k) \in \naturalnum$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \dfrac{1}{k}$。
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\end{remark}
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\section{由已知极限求未知极限}
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@@ -149,7 +149,7 @@
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\begin{proof}[分析]
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\renewcommand{\qedsymbol}{}
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我们已经知道，$\forall \varepsilon > 0$，$N_1 \in \mathbb{N}$，$\forall n > N_1$，$\vert a_n - A \vert < \varepsilon$。
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我们已经知道，$\forall \varepsilon > 0$，$N_1 \in \naturalnum$，$\forall n > N_1$，$\vert a_n - A \vert < \varepsilon$。
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那么我们可以把要求的式子变形成
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\begin{equation*}
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@@ -167,7 +167,7 @@
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\end{proof}
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\begin{proof}
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由题，$\forall \varepsilon > 0$，$\exists N_1 \in \mathbb{N}$，$\forall n > N_1$，$\vert a_n - A \vert < \varepsilon$。
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由题，$\forall \varepsilon > 0$，$\exists N_1 \in \naturalnum$，$\forall n > N_1$，$\vert a_n - A \vert < \varepsilon$。
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对此$N_1$，一定存在$N_2 > N_1$，使$\forall n > N_2$，$\dfrac{\vert a_1 - A \vert + \vert a_2 - A \vert + \cdots + \vert a_N -A \vert}{n} < \varepsilon$。
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@@ -185,11 +185,11 @@
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\begin{definition}[发散到无穷的定义]
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\ \par
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若$\forall M > 0$，$N \in \mathbb{N}$，当$n > N$时$a_n > M$，称$\{ a_n \}$\textbf{发散到$+ \infty$}，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = + \infty$；
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若$\forall M > 0$，$N \in \naturalnum$，当$n > N$时$a_n > M$，称$\{ a_n \}$\textbf{发散到$+ \infty$}，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = + \infty$；
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若$\forall M > 0$，$N \in \mathbb{N}$，当$n > N$时$a_n < -M$，称$\{ a_n \}$\textbf{发散到$- \infty$}，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = - \infty$；
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若$\forall M > 0$，$N \in \naturalnum$，当$n > N$时$a_n < -M$，称$\{ a_n \}$\textbf{发散到$- \infty$}，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = - \infty$；
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若$\forall M > 0$，$N \in \mathbb{N}$，当$n > N$时$\vert a_n \vert > M$，称$\{ a_n \}$\textbf{发散到$\infty$}，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = \infty$。
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若$\forall M > 0$，$N \in \naturalnum$，当$n > N$时$\vert a_n \vert > M$，称$\{ a_n \}$\textbf{发散到$\infty$}，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = \infty$。
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\end{definition}
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\begin{remark}
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@@ -197,21 +197,21 @@
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\end{remark}
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\section{收敛数列的性质}
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\begin{theorem}[唯一性]
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\begin{proposition}[唯一性]
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如果$\{ a_n \}$收敛，则其极限是唯一的。
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\end{theorem}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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反证法：假设$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = A$，$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = B$且$A \neq B$。
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由$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = A$，可以得到
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\begin{equation}
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\forall \varepsilon > 0 \eqco \exists N_1 \in \mathbb{N} \eqco \forall n > N_1 \eqco \vert a_n - A \vert < \varepsilon \text{；}\label{1.4.1.1}
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\forall \varepsilon > 0 \eqco \exists N_1 \in \naturalnum \eqco \forall n > N_1 \eqco \vert a_n - A \vert < \varepsilon \text{；}\label{1.4.1.1}
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\end{equation}
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由$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = B$，可以得到
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\begin{equation}
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\forall \varepsilon > 0 \eqco \exists N_2 \in \mathbb{N} \eqco \forall n > N_2 \eqco \vert a_n - B \vert < \varepsilon \text{；}\label{1.4.1.2}
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||||
\forall \varepsilon > 0 \eqco \exists N_2 \in \naturalnum \eqco \forall n > N_2 \eqco \vert a_n - B \vert < \varepsilon \text{；}\label{1.4.1.2}
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\end{equation}
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取$N = \max \{ N_1, N_2 \}$，取$\varepsilon = \dfrac{\vert A - B \vert}{3}$，$\forall n > N$，\ref{1.4.1.1}与\ref{1.4.1.2}同时成立。因此，有
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@@ -225,16 +225,16 @@
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矛盾！因此原假设不成立。
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\end{proof}
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\begin{theorem}[有界性]
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\begin{proposition}[有界性]
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设$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$，则$\{ a_n \}$有界。
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\end{theorem}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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由题，$\exists N \in \mathbb{N}$，$\forall n > N$，$\vert a_n - A \vert < 1$。
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由题，$\exists N \in \naturalnum$，$\forall n > N$，$\vert a_n - A \vert < 1$。
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则$\forall n > N$，$a_n \leq a + 1$。
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为此，令$M = \max \{ a_1, a_2, \ldots , a_N, a + 1\} + 1$，则$\forall n \in \mathbb{N}$，都有$\vert a_n \vert < M$。因此$\{ a_n \}$有界。
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||||
为此，令$M = \max \{ a_1, a_2, \ldots , a_N, a + 1\} + 1$，则$\forall n \in \naturalnum$，都有$\vert a_n \vert < M$。因此$\{ a_n \}$有界。
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\end{proof}
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\begin{remark}
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@@ -251,7 +251,7 @@
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使$\forall n > n_0$都有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$。
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$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使$\forall n > n_0$都有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$。
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任取$\{ a_n \}$的一个子列$\{ a_{k_n} \}$。注意$k_n \geq n$（子列的下标与数列下标的关系），当$n > n_0$时，$k_n \geq n > n_0$。因此$\vert a_{k_n} - a \vert < \varepsilon$。那么$\lim \limits_{n \to \infty} a_{k_n} = a$。
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\end{proof}
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@@ -270,14 +270,14 @@
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也就是说如果一个数列的两个子列极限不同或有不收敛子列，就可以判定该数列不收敛。例如$(-1)^n$。
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\end{remark}
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\begin{theorem}[保号性]
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\begin{proposition}[保号性]
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设$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$，有：
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\begin{enumerate}
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\item 若$a_n \geq 0$，则$n$充分大后$a \geq 0$。
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\item 若$a > 0$，则$n$充分大后$a_n > 0$。
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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\end{proposition}
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\begin{corollary}[极限的保序性]
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若$\toinf a_n = a$，$\toinf b_n = b$，则
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@@ -288,14 +288,14 @@
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\end{corollary}
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\begin{theorem}[极限的四则运算性质]\label{极限的四则运算性质}
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\begin{proposition}[极限的四则运算性质]\label{极限的四则运算性质}
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设$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$，$\lim \limits_{n \to \infty} b_n = b$，则：
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\begin{enumerate}
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\item $\lim \limits_{n \to \infty}(a_n \pm b_n) = a \pm b$；
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\item $\lim \limits_{n \to \infty}(a_n b_n) = ab$；
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\item $\lim \limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{a_n}{b_n}\right) = \dfrac{a}{b}$，只要$b \neq 0$。
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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\end{proposition}
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下面证明\ref{极限的四则运算性质}的第二条。
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\begin{proof}
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@@ -305,7 +305,7 @@
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\leq & \vert b_n \vert \vert a_n - a \vert + a \vert b_n - b \vert \text{；}
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||||
\end{align*}
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||||
其次，由于$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$，$\lim \limits_{n \to \infty} b_n = b$，因此$\forall \varepsilon > 0$，$\exists N_1, N_2 \in \mathbb{N}$，满足$\forall n > N_1$，$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$，$\forall n > N_2$，$\vert b_n - b \vert < \varepsilon$，又因为$\{ b_n \}$有界（设$\{ b_n \}$的一个上界为$M$），而$a$是定值，因此$\vert b_n \vert \vert a_n - a \vert + a \vert b_n - b \vert \leq M \cdot \varepsilon + a \cdot \varepsilon$。即$\lim \limits_{n \to \infty} a_n b_n = ab$。
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||||
其次，由于$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$，$\lim \limits_{n \to \infty} b_n = b$，因此$\forall \varepsilon > 0$，$\exists N_1, N_2 \in \naturalnum$，满足$\forall n > N_1$，$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$，$\forall n > N_2$，$\vert b_n - b \vert < \varepsilon$，又因为$\{ b_n \}$有界（设$\{ b_n \}$的一个上界为$M$），而$a$是定值，因此$\vert b_n \vert \vert a_n - a \vert + a \vert b_n - b \vert \leq M \cdot \varepsilon + a \cdot \varepsilon$。即$\lim \limits_{n \to \infty} a_n b_n = ab$。
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||||
\end{proof}
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||||
下面证明\ref{极限的四则运算性质}的第三条。
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@@ -317,7 +317,7 @@
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= & \left| \dfrac{1}{b_n} \right| \left(\left| a_n - a \right| + \left| \dfrac{a}{b}\right| \left| b_n - b \right| \right) \text{；}
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||||
\end{align*}
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||||
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||||
其次，由于$\lim \limits_{n \to \infty} b_n = b$且$b \neq 0$，因此，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使得$\forall n > n_0$，有$\vert b_n - b \vert < \left| \dfrac{b}{2} \right|$（$b_n$与$b$的距离不超过$\left| \dfrac{b}{2} \right|$），即$b - \left| \dfrac{b}{2} \right| < b_n < b + \left| \dfrac{b}{2} \right|$。那么，$\vert b_n \vert > \left| \dfrac{b}{2} \right|$（可通过数轴上的几何意义理解）。于是有$\left| \dfrac{1}{b_n} \right| < \left| \dfrac{2}{b} \right|$。那么令$M = \max \left\{ \left| \dfrac{1}{b_1} \right|, \left| \dfrac{1}{b_2} \right|, \ldots , \left| \dfrac{1}{b_{n_0}} \right|, \left| \dfrac{2}{b} \right| \right\}$，则$\forall n \in \mathbb{N}$，有$\left| \dfrac{1}{b_n} \right| \leq M$，即$\left| \dfrac{1}{b_n} \right|$有界。
|
||||
其次，由于$\lim \limits_{n \to \infty} b_n = b$且$b \neq 0$，因此，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使得$\forall n > n_0$，有$\vert b_n - b \vert < \left| \dfrac{b}{2} \right|$（$b_n$与$b$的距离不超过$\left| \dfrac{b}{2} \right|$），即$b - \left| \dfrac{b}{2} \right| < b_n < b + \left| \dfrac{b}{2} \right|$。那么，$\vert b_n \vert > \left| \dfrac{b}{2} \right|$（可通过数轴上的几何意义理解）。于是有$\left| \dfrac{1}{b_n} \right| < \left| \dfrac{2}{b} \right|$。那么令$M = \max \left\{ \left| \dfrac{1}{b_1} \right|, \left| \dfrac{1}{b_2} \right|, \ldots , \left| \dfrac{1}{b_{n_0}} \right|, \left| \dfrac{2}{b} \right| \right\}$，则$\forall n \in \naturalnum$，有$\left| \dfrac{1}{b_n} \right| \leq M$，即$\left| \dfrac{1}{b_n} \right|$有界。
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||||
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||||
因此，
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\begin{equation*}
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@@ -333,7 +333,7 @@
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_1, n_2 \in \mathbb{N}$，使：
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||||
$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_1, n_2 \in \naturalnum$，使：
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\forall n > n_1$，有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$，即$a - \varepsilon < a_n < a + \varepsilon$；
|
||||
\item $\forall n > n_2$，有$\vert c_n - a \vert < \varepsilon$，即$a - \varepsilon < c_n < a + \varepsilon$。
|
||||
@@ -386,7 +386,7 @@
|
||||
\end{proposition}
|
||||
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||||
\begin{definition}[无穷大数列]
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||||
设$\{a_n\}$为一数列。若$\forall A > 0$，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使得$\forall n > n_0$，
|
||||
设$\{a_n\}$为一数列。若$\forall A > 0$，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使得$\forall n > n_0$，
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item 都有$a_n > A$，则称$\{a_n\}$趋于$+\infty$，记为$\toinf a_n = + \infty$；
|
||||
\item 都有$a_n < -A$，则称$\{a_n\}$趋于$-\infty$，记为$\toinf a_n = - \infty$；
|
||||
@@ -525,7 +525,7 @@
|
||||
|
||||
\section{基本列和Cauchy收敛原理}
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||||
\begin{definition}[基本列]
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||||
设$\{a_n\}$为一个数列。若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n \in \mathbb{N}^\ast$，使当$n > N$，对$\forall p \in \mathbb{N}$，都有$\vert a_{n+p} - a_n \vert < \varepsilon$，则称$\{a_n\}$是基本列或Cauchy列。
|
||||
设$\{a_n\}$为一个数列。若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n \in \naturalnum^\ast$，使当$n > N$，对$\forall p \in \naturalnum$，都有$\vert a_{n+p} - a_n \vert < \varepsilon$，则称$\{a_n\}$是基本列或Cauchy列。
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
@@ -533,7 +533,7 @@
|
||||
\end{proposition}
|
||||
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||||
\begin{proof}
|
||||
令$\toinf a_n = a$。则$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使$\forall n, n' > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}, \vert a_{n'} - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}$。由三角不等式
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令$\toinf a_n = a$。则$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使$\forall n, n' > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}, \vert a_{n'} - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}$。由三角不等式
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\[\vert a_n - a_{n'} = \vert a_n - a - (a_{n'} - a) \vert \leq \vert a_n - a \vert + \vert a_{n'} - a \vert < \varepsilon\]
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\end{proof}
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@@ -548,9 +548,9 @@
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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取基本列$\{a_n\}$。$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使$\forall n, n' > n_0$， $\vert a_n - a_{n'} \vert < 1$。由此可得$\forall n > n_0$，$\vert a_n - a_{n_0 + 1} \vert < 1$，所以$\vert a_n \vert \leq \vert a_{n_0 + 1} \vert + 1$。
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取基本列$\{a_n\}$。$\exists n_0 \in \naturalnum$，使$\forall n, n' > n_0$， $\vert a_n - a_{n'} \vert < 1$。由此可得$\forall n > n_0$，$\vert a_n - a_{n_0 + 1} \vert < 1$，所以$\vert a_n \vert \leq \vert a_{n_0 + 1} \vert + 1$。
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进一步有$\forall n \in \mathbb{N}$，$\vert a_n \vert \leq \vert a_1 \vert + \cdots + \vert a_{n_0} \vert + \vert a_{n_1+1}+1\vert$。
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进一步有$\forall n \in \naturalnum$，$\vert a_n \vert \leq \vert a_1 \vert + \cdots + \vert a_{n_0} \vert + \vert a_{n_1+1}+1\vert$。
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\end{proof}
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\begin{lemma}[Bolzano-Weierstrass列紧性原理]\label{cauchy priciple of convergence lemma 2}
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@@ -569,7 +569,7 @@
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\noindent 第一步，选子序列：
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$\{a_n\}$有界$\Rightarrow \exists m_1, M_1$，$\forall n \in \mathbb{N}$，有$m_1 \leq a_n \leq M_1$。
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$\{a_n\}$有界$\Rightarrow \exists m_1, M_1$，$\forall n \in \naturalnum$，有$m_1 \leq a_n \leq M_1$。
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可以将$\{a_n\}$分成两部分，其中的$a_i$分别满足
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\[m_1 \leq a_i \leq \dfrac{m_1 + M_1}{2}, \dfrac{m_1 + M_1}{2} \leq a_i \leq M_1 \eqco\]
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@@ -603,15 +603,15 @@
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\noindent 第一步，选子数列：
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设$a_{n_1} = a_1$。定义集合$\{a_{n_1}\} = \{a_n \vert n \in \mathbb{N}, n > 1\}$，$\{a_{n_1}\}$有界，设$b_1 = \sup{\{a_{n_1}\}}$；
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设$a_{n_1} = a_1$。定义集合$\{a_{n_1}\} = \{a_n \vert n \in \naturalnum, n > 1\}$，$\{a_{n_1}\}$有界，设$b_1 = \sup{\{a_{n_1}\}}$；
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$\exists a_{n_2} \in \{a_{n_1}\}$，使$0 \leq b_1 - a_{n_2} < \dfrac{1}{2}$。定义集合$\{a_{n_2}\} = \{a_n \vert n \in \mathbb{N}, n > n_2\}$，$\{a_{n_2}\}$有界，设$b_2 = \sup{\{a_{n_2}\}} \leq b_1$；
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||||
$\exists a_{n_2} \in \{a_{n_1}\}$，使$0 \leq b_1 - a_{n_2} < \dfrac{1}{2}$。定义集合$\{a_{n_2}\} = \{a_n \vert n \in \naturalnum, n > n_2\}$，$\{a_{n_2}\}$有界，设$b_2 = \sup{\{a_{n_2}\}} \leq b_1$；
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$\exists a_{n_3} \in \{a_{n_2}\}$，使$0 \leq b_2 - a_{n_3} < \dfrac{1}{3}$。定义集合$\{a_{n_3}\} = \{a_n \vert n \in \mathbb{N}, n > n_3\}$，$\{a_{n_3}\}$有界，设$b_3 = \sup{\{a_{n_3}\}} \leq b_2$；
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$\exists a_{n_3} \in \{a_{n_2}\}$，使$0 \leq b_2 - a_{n_3} < \dfrac{1}{3}$。定义集合$\{a_{n_3}\} = \{a_n \vert n \in \naturalnum, n > n_3\}$，$\{a_{n_3}\}$有界，设$b_3 = \sup{\{a_{n_3}\}} \leq b_2$；
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如此无限地操作下去，得
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$\exists a_{n_k} \in \{a_{n_{k-1}}\}$，使$0 \leq b_{k-1} - a_{n_k} < \dfrac{1}{k}$。定义集合$\{a_{n_k}\} = \{a_n \vert n \in \mathbb{N}, n > n_k\}$，$\{a_{n_k}\}$有界，设$b_k = \sup{\{a_{n_k}\}} \leq b_{k-1}$。
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$\exists a_{n_k} \in \{a_{n_{k-1}}\}$，使$0 \leq b_{k-1} - a_{n_k} < \dfrac{1}{k}$。定义集合$\{a_{n_k}\} = \{a_n \vert n \in \naturalnum, n > n_k\}$，$\{a_{n_k}\}$有界，设$b_k = \sup{\{a_{n_k}\}} \leq b_{k-1}$。
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于是我们得到了一个子列
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\[a_{n_1}, a_{n_2}, \cdots , a_{n_k}, \cdots \]
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@@ -631,10 +631,10 @@
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\end{remark}
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\begin{proof}
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任取数列$\{a_n\}$，定义其``龙头项''为：固定$k \in \mathbb{N}$，若$\forall n > k, a_k > a_n$，则称$a_k$为一个``龙头项''。那么一个数列必属于下列两种情况之一：
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任取数列$\{a_n\}$，定义其``龙头项''为：固定$k \in \naturalnum$，若$\forall n > k, a_k > a_n$，则称$a_k$为一个``龙头项''。那么一个数列必属于下列两种情况之一：
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\begin{enumerate}
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\item $\{a_n\}$有无穷多个``龙头项''，依次记为$a_{k_1}, a_{k_2}, \cdots , a_{k_n}, \cdots$。注意$k_1 < k_2 < \cdots < k_n < \cdots$，因此$a_{k_1} > a_{k_2} > \cdots > a_{k_n} > \cdots$，这时$\{a_n\}$中有严格单调减子列$\{a_{k_n}\}$；
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||||
\item ``龙头项''只有有限多，那么$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，$\forall n \geq n_0$，$a_n$不是``龙头项''，取$a_{k_1} = a_{n_0}$，那么$a_{k_1}$不是``龙头项''，$\exists k_2 > k_1, a_{k_2} \geq a_{k_1}$，而$a_{k_2}$也不是``龙头项''，$\exists k_3 > k_2, a_{k_3} \geq a_{k_2}$，……依此类推，得到单调增子列$\{a_{k_n}\}$。
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\item ``龙头项''只有有限多，那么$\exists n_0 \in \naturalnum$，$\forall n \geq n_0$，$a_n$不是``龙头项''，取$a_{k_1} = a_{n_0}$，那么$a_{k_1}$不是``龙头项''，$\exists k_2 > k_1, a_{k_2} \geq a_{k_1}$，而$a_{k_2}$也不是``龙头项''，$\exists k_3 > k_2, a_{k_3} \geq a_{k_2}$，……依此类推，得到单调增子列$\{a_{k_n}\}$。
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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@@ -651,15 +651,15 @@
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注意
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\[\vert a_n - a \vert \leq \vert a_n - a_{k_n} \vert + \vert a_{k_n} - a \vert \eqper\]
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首先，$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_1 \in \mathbb{N}$，使$\forall n, n' > n_1$，有\begin{equation*}\tag{1}\label{cauchy principle of convergence eq1}
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首先，$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_1 \in \naturalnum$，使$\forall n, n' > n_1$，有\begin{equation*}\tag{1}\label{cauchy principle of convergence eq1}
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\vert a_n - a_{n'} \vert < \dfrac{\varepsilon}{2} \text{；}
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\end{equation*}
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其次，由$\toinf a_{k_n} = a$，$\exists n_2 \in \mathbb{N}$，使$\forall n > n_2$，有\begin{equation*}\tag{2}\label{cauchy principle of convergence eq2}
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其次，由$\toinf a_{k_n} = a$，$\exists n_2 \in \naturalnum$，使$\forall n > n_2$，有\begin{equation*}\tag{2}\label{cauchy principle of convergence eq2}
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\vert a_{k_n} - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}\eqper
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\end{equation*}
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综上，当$n > n_0 = \max{\{n_1, n_2\}} \in \mathbb{N}$，因为$k_n \geq n > n_0$，因此\eqref{cauchy principle of convergence eq1}与\eqref{cauchy principle of convergence eq2}都成立，
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综上，当$n > n_0 = \max{\{n_1, n_2\}} \in \naturalnum$，因为$k_n \geq n > n_0$，因此\eqref{cauchy principle of convergence eq1}与\eqref{cauchy principle of convergence eq2}都成立，
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\[\vert a_n - a \vert \leq \vert a_n - a_{k_n} \vert + \vert a_{k_n} - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \eqper\]
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\end{proof}
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@@ -667,11 +667,11 @@
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\section{上、下确界与确界原理}
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\begin{theorem}[确界原理]
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设$E \subset \mathbb{R}$非空。
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设$E \subset \realnum$非空。
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\begin{enumerate}
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\item 如果$E$有上界，则必有上确界：$\exists \beta = \sup{E} \in \mathbb{R}$；
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\item 如果$E$有下界，则必有下确界：$\exists \alpha = \inf{E} \in \mathbb{R}$；
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\item 如果$E$有上界，则必有上确界：$\exists \beta = \sup{E} \in \realnum$；
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\item 如果$E$有下界，则必有下确界：$\exists \alpha = \inf{E} \in \realnum$；
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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@@ -696,17 +696,17 @@
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只要再证明$\forall \varepsilon > 0$，$a - \varepsilon$都不是$E$的一个上界，即可证明$a=b$是$E$的上确界。
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注意到$\toinf a_n = a > a - \varepsilon$，根据极限的保序性，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使$\forall n > n_0$，$a_n \geq a - \varepsilon$。而根据上面的\ref{sup inf prove c}，$E \cap [a_n, b_n]$非空，因此$\exists x_n \in E \cap [a_n, b_n], n= 1, 2, \cdots$。综上，$\forall n > n_0$，$\exists x_n \in E$，$x_n \geq a_n \geq a - \varepsilon$。因而$a - \varepsilon$不是$E$的上界，$a = b = \sup{E}$。
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注意到$\toinf a_n = a > a - \varepsilon$，根据极限的保序性，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使$\forall n > n_0$，$a_n \geq a - \varepsilon$。而根据上面的\ref{sup inf prove c}，$E \cap [a_n, b_n]$非空，因此$\exists x_n \in E \cap [a_n, b_n], n= 1, 2, \cdots$。综上，$\forall n > n_0$，$\exists x_n \in E$，$x_n \geq a_n \geq a - \varepsilon$。因而$a - \varepsilon$不是$E$的上界，$a = b = \sup{E}$。
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\end{proof}
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回忆约定：若$E$无上界，则记$\sup E = + \infty$；若$E$无下界，则记$\inf E = - \infty$。
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\begin{example}
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证明：若$\vert x_n - x_{n+p} \vert \leq \dfrac{p}{n^2} \eqco \forall p, n \in \mathbb{N}$，则$\{x_n\}$为柯西列。
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证明：若$\vert x_n - x_{n+p} \vert \leq \dfrac{p}{n^2} \eqco \forall p, n \in \naturalnum$，则$\{x_n\}$为Cauchy列。
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\end{example}
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\begin{proof}
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$\vert x_n - x_{n+p} \vert \leq \dfrac{p}{n^2} \eqco \forall p, n \in \mathbb{N}$，则$\vert x_n - x_{n+1} \leq \dfrac{1}{n^2} \eqco \forall n$。于是$\forall p, n > 1$
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$\vert x_n - x_{n+p} \vert \leq \dfrac{p}{n^2} \eqco \forall p, n \in \naturalnum$，则$\vert x_n - x_{n+1} \leq \dfrac{1}{n^2} \eqco \forall n$。于是$\forall p, n > 1$
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\[
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\begin{aligned}
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\vert x_n - x_{n+p} \vert & \leq \vert x_n - x_{n+1} \vert + \vert x_{n+1} - x_{n+2} \vert + \cdots + \vert x_{n+p-1} - x_{n+p} \vert \\
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@@ -737,7 +737,7 @@
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||||
\item $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n](n = 1, 2, \cdots)$
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||||
\item $\toinf (b_n - a_n) = 0$
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\end{enumerate}
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则$\exists ! \xi \in \mathbb{R}$，s.t. $\xi \in \bigcap \limits_{n \geq 1}[a_n, b_n]$，$\toinf a_n = \toinf b_n = \xi$。
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||||
则$\exists ! \xi \in \realnum$，s.t. $\xi \in \bigcap \limits_{n \geq 1}[a_n, b_n]$，$\toinf a_n = \toinf b_n = \xi$。
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\end{theorem}
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可以由单调收敛原理证明闭区间套原理：
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@@ -788,7 +788,7 @@
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\end{definition}
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\begin{definition}[聚点]
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设集合$A \subseteq \mathbb{R} \eqco a \in \mathbb{R}$。若$\forall \delta > 0$，$a$的$\delta$临域中都含有$A$中无穷多个点，则称$a$是$A$的一个聚点。
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设集合$A \subseteq \realnum \eqco a \in \realnum$。若$\forall \delta > 0$，$a$的$\delta$临域中都含有$A$中无穷多个点，则称$a$是$A$的一个聚点。
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\end{definition}
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\begin{proposition}
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Reference in New Issue
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