第四周第1节。
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\chapter{函数及其连续性}
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\section{映射的一般概念和性质}
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\begin{definition}[映射]
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设$A \eqco B$是两个集合，如果$\forall x \in A \eqco \exists ! f(x) \in B$，则记$f: A \to B$，$f$称为由$A$到$B$的一个映射。集$A$称为定义域，$B$称为值域。
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\end{definition}
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\begin{definition}[满射]
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设$f: A \to B$。若$\forall y \in B \eqco \exists x \in A$满足$f(x) = y$（$x \in A$不必唯一），则称$f$是一个满射。
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\end{definition}
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\begin{definition}[单射]
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设$f: A \to B$。若$\forall x_1, x_2 \in A \eqco x_1 \neq x_2$必有$f(x_1) \neq f(x_2)$，则称$f$是一个单射。
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\end{definition}
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\begin{definition}[一一映射]
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设$f: A \to B$。如果$f$即是满射又是单射，则称$f$是双射（一一对应）。
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\end{definition}
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\begin{corollary}
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记$B_1 = \{f(x) \vert x \in A\}$，则$f: A \to B_1$是满射。
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又若$f: A \to B$是单射，则$f: A \to B_1$是双射。
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\end{corollary}
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\begin{definition}[像集]
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设$f: A \to B$。令$E \subset A$。记$f(E) = \{f(x) \vert x \in E\}$。$f(E)$称为$E$的像（集）。
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\end{definition}
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\begin{definition}[逆像]
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设$f: A \to B$。令$K \subset B$。记$f^{-1}(K) = \{x \in A \vert f(x) \in K\}$。$f^{-1}(K)$称为$K$的逆像（原像）。
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\end{definition}
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\begin{remark}
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原像可以是空集，如果映射不是满射的话。
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\end{remark}
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\begin{definition}[逆映射]
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设$f: A \to B$是单射，记$B_1 = f(A)$，则$\forall y \in B_1$，$\exists ! x \in A$满足$f(x) = y$。定义$f^{-1}(y) = x$，由此得到映射$f^{-1}: B_1 \to A$，成为$f$的逆映射。
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\end{definition}
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\begin{remark}
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仅当$f$为单射式，才能定义逆映射$f^{-1}: B_1 \to A$，否则$\exists y \in B_1$，$f^{-1}(y)$不唯一，不符合映射的定义。
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\end{remark}
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\begin{corollary}
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$f: A \to B$的逆映射$f^{-1}: B \to A$存在当且仅当$f$是双射时。
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\end{corollary}
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\begin{definition}[复合映射]
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设$g: A \to B$，$f: C \to D$，满足$g(A) \subset C$，则可以定义映射$f \circ g : A \to D$：$\forall x \in A$，$(f \circ g)(x) = f(g(x)) \in D$称为$f$与$g$的复合。
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\end{definition}
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\begin{theorem}
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设$f: A \to B$是双射，则逆映射$f^{-1}: B \to A$存在且$f(A) = B$，$f^{-1}(B) = A$，所以复合映射
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\[f \circ f^{-1}: B \to B \eqco f^{-1} \circ f: A \to A\]
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都存在，且二者分别是$B$与$A$上的恒等映射：
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\begin{equation*}
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\begin{aligned}
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\forall y \in B \eqco (f \circ f^{-1})(y) = y\\
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\forall x \in A \eqco (f^{-1} \circ f)(x) = x
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\end{aligned}
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\end{equation*}
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\end{theorem}
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\section{函数的表示、运算与性质}
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\begin{definition}[函数]
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设$A$为实数集合，则$f: A \to \realnum$称为函数。$\forall x \in A$，$\exists ! f(x) \in \realnum$。称这里的实数$x$为自变量，$f(x)$称为函数值。
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\end{definition}
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\begin{definition}[函数的四则运算]
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设$f: A \to \realnum$，$g: B \to \realnum$，$D = A \cap B$非空，定义
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\begin{enumerate}
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\item $f \pm g : D \to \realnum$，$\forall x \in D$，$(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)$
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\item $fg: D \to \realnum$，$\forall x \in D$，$(fg)(x) = f(x)g(x)$
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\item $f / g: D \to \realnum$，$\forall x \in D_0$，其中$D_0 = \{x \in D \vert g(x) \neq 0\}$，$(f/g)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{definition}[函数的复合运算]
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设$f: A \to \realnum$，$g:B \to \realnum$，$g(B) \subset A$，则得到的复合映射$f \circ g:B \to \realnum$也是一个函数，成为复合函数
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\[(f \circ g)(x) = f(g(x)) \eqco \forall x \in B\]
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\end{definition}
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\begin{definition}[单调函数]
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设$f: A \to \realnum$，$A \subset \realnum$
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\begin{itemize}
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\item 若$\forall x_1, x_2 \in A \eqco x_1 < x_2$时，$f(x_1) \leq f(x_2)$，则称$f$单调增；
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\item 若$\forall x_1, x_2 \in A \eqco x_1 < x_2$时，$f(x_1) \geq f(x_2)$，则称$f$单调减。
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\end{itemize}
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若上面的不等号时严格不等号，则称为严格单调。
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\end{definition}
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\begin{corollary}
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设$f: A \to \realnum$严格单调，记$f(A) = D$，则
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\begin{enumerate}
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\item $f^{-1}: D \to A$存在；
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\item $f^{-1}$也严格单调，且与$f$的增减性相同。
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\end{enumerate}
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\end{corollary}
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\section{基本初等函数}
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基本初等函数有：
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\begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
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\item 多项式函数（由常值函数和恒等函数的加乘运算生成）
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\[P(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n \eqco x \in \realnum\]
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其中$a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n \in \realnum$为常数。
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\item 幂函数
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\[f(x) = x^a \eqco x > 0\]
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特别当$a = n \in \naturalnum$时，$f(x) = x^n \eqco x \in \realnum$；
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当$a = -n , n \in \naturalnum$时，$f(x) = x^{-n} = \dfrac{1}{x^n} \eqco x \neq 0$；
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当$a = \dfrac{n}{m} \eqco m,n \in \integer$时，$f(x) = x^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{x^n} \eqco x > 0$。
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\item 指数函数
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令$a > 0$固定
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\[f(x) = a^x \eqco x \in \realnum\]
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\item 对数函数
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令$a > 0$且$a \neq 1$
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\[f(x) = \log_a x \eqco x > 0\]
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\item 三角函数
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\begin{equation*}
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\begin{aligned}
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f_1(x) = \sin x \eqco x \in \realnum\\
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f_2(x) = \cos x \eqco x \in \realnum
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\end{aligned}
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\end{equation*}
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\item 反三角函数
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\begin{equation*}
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\begin{aligned}
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f_1^{-1} = \arcsin x \eqco \vert x \vert < 1\\
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f_2^{-1} = \arccos x \eqco \vert x \vert < 1
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\end{aligned}
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\end{equation*}
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\end{enumerate}
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\section{函数的极限}
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\begin{definition}[函数的极限]
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设函数$f$在点$x_0$附近有定义（除$x_0$以外）。$A \in \realnum$，若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使所有满足$0 < \vert x - x_0 \vert < \delta$的$x$都有
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\[\vert f(x) - A \vert < \varepsilon \eqco\]
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则称当$x$趋于点$x_0$时$f(x)$的极限为$A$，或$f(x)$趋于$A$，记作
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\[\toxzero f(x) = A \eqco\]
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或记作
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\[f(x) \to A (x \to x_0) \eqper\]
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\end{definition}
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\begin{definition}[单侧极限]
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设函数$f$在点$x_0$附近有定义。则它的
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\begin{itemize}
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\item 右极限：$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得当$0 < x - x_0 < \delta$时$\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$，记作$\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = A$或$f(x_0+) = A$。
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\item 左极限：$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得当$-\delta < x - x_0 < 0$时$\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$，记作$\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = A$或$f(x_0-) = A$。
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{corollary}
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$\toxzero f(x) = A$当且仅当$\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = \lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = A$。
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\end{corollary}
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\section{函数极限的性质}
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函数极限的性质与数列极限的性质类似。
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\begin{proposition}[唯一性]
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设$\toxzero f(x)$存在，则极限值唯一。
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\end{proposition}
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\begin{proposition}[有界性【局部】]
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设$\toxzero f(x) = A$，则$\exists \delta > 0$，使得
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\[\forall 0 < \vert x - x_0 \vert < \delta \eqco \vert f(x) \vert \leq 1 + \vert A \vert\]
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即在$x_0$附近（不包含$x_0$）$f(x_0)$有界。
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\end{proposition}
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\begin{proposition}[保号性]
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设$\toxzero f(x) = A$
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\begin{enumerate}
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\item 若在$x_0$附近（除去$x_0$）$f(x) \geq 0$，则$A \geq 0$。
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\item 若$A > 0$，则$\exists \delta > 0$，使得$0 < \vert x - x_0 \vert < \delta$时$f(x) > 0$。
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proposition}[极限的四则运算]
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设$\toxzero f(x) = A$，$\toxzero g(x) = B$，则
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\begin{enumerate}
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\item $\toxzero [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$；
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\item $\toxzero f(x)g(x) = AB$；
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\item $\toxzero \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{A}{B}$，只要$B \neq 0$。
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{corollary}[保序性]
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设$\toxzero f(x) = A$，$\toxzero g(x) = B$，则
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\begin{enumerate}
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\item 若在$x_0$附近（除去$x_0$之外）$f(x) \geq g(x)$，则$A \geq B$
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\item 若$A > B$，则$\exists \delta > 0$，使得$0 < \vert x - x_0 \vert < \delta$时$f(x) > g(x)$。
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\end{enumerate}
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\end{corollary}
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\begin{theorem}[Heine定理：子列性质]\label{Heine定理}
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$\toxzero f(x) = A$的充要条件是：对任何数列\setname{x_n}满足$x_n \neq x_0$且$toinf x_n = x_0$都有$\toinf f(x_n) = A$。
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\end{theorem}
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\begin{corollary}
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若有两数列\setname{x_n}，\setname{y_n}满足$x_n \neq x_0$，$y_n \neq x_0$且$\toinf x_n = x_0$，$\toinf f(x_n) = A$，以及$\toinf y_n = x_0$，$\toinf f(y_n) = B \neq A$则$\toxzero f(x)$不存在。
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\end{corollary}
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\begin{theorem}[夹逼原理]
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设在$x_0$附近$f \eqco g \eqco h$满足
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\[f(x) \leq g(x) \leq h(x)\]
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如果$\toxzero f(x) = \toxzero h(x) = A$，则$\toxzero g(x) = A$。
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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证明$\toxzero g(x) = A$即证明$\forall x_n \to x_0 \eqco \toinf g(x_n) = A$。
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由定理\ref{Heine定理}和已知，$\toxzero f(x) = \toxzero h(x) = A$。得
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\[\forall x_n \to x_0 (n \to 0)\text{有} \toxzero f(x_n) = \toxzero h(x_n) = A \eqper\]
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由已知$\exists \delta_0$，$\vert x - x_0 \vert < \delta_0$时$f(x) < g(x) < h(x)$。
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因此$\exists N \in \naturalnum$，$n > N$，$\vert x - x_0 \vert < \delta_0$，那么$f(x_n) < g(x_n) < h(x_n)$。
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由数列夹逼原理，$\toinf g(x_n) = A$，从而$\toxzero g(x) = A$。
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\end{proof}
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\begin{proposition}[单调收敛原理]
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\ \par
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\begin{enumerate}
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\item $f$在$(a,b)$上的单增有上界，则$\lim \limits_{x \to b^-} f(x) = \sup \limits_{a < x < b} f(x)$；
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\item $f$在$(a,b)$上的单减有下界，则$\lim \limits_{x \to b^-} f(x) = \inf \limits_{a < x < b} f(x)$；
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\item $f$在$(a,b)$上的单增有下界，则$\lim \limits_{x \to a^+} f(x) = \inf \limits_{a < x < b} f(x)$；
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||||
\item $f$在$(a,b)$上的单减有上界，则$\lim \limits_{x \to a^+} f(x) = \sup \limits_{a < x < b} f(x)$
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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只证（1）。$\{f(x) \vert x \in (a, b)\}$非空有上界，从而有上确界
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\[A = \sup \{f(x) \vert x \in (a, b)\} \eqper\]
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由上确界的定义，
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\[\forall \varepsilon > 0 \eqco \exists x_1 \in (a, b) \eqco \text{s.t. } f(x_1) > A - \varepsilon\]
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且
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\[f(x) \leq A \eqco \forall x \in (a, b) \eqper\]
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因为$f$单增，则$\forall x \in (x_1, b)$，有
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\[A - \varepsilon < f(x_1) \leq f(x) \leq A \eqper\]
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因此$\lim \limits_{x \to b^-} f(x) = A$。
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\end{proof}
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\begin{theorem}
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$(a, b)$上的单调函数在每一点处左右极限都存在。
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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不妨设$f$在$(a,b)$上单增，$x_0 \in (a, b)$，往证$\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x)$存在（同理可证$\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x)$存在）。
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$f$单增，$\{f(x) \vert x \in (a, x_0)\}$非空有上界$f(x_0)$，从而有上确界
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\[A = \sup \{f(x) \vert x \in (a, x_0)\} \eqper\]
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由上确界的定义，
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\[\forall \varepsilon > 0 \eqco \exists x_1 \in (a, x_0) \eqco \text{s.t. } f(x_1) > A - \varepsilon\]
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且
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\[f(x) \leq A \eqco \forall x \in (a, x_0)\]
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||||
因为$f$单增，因此$\forall x \in (x_1, x_0)$，有
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||||
\[A - \varepsilon < f(x_1) \leq f(x) \leq A \eqper\]
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||||
因此$\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = A$。
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\end{proof}
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\begin{theorem}
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$f$在$U(x_0, \rho)$中有定义，则以下命题等价：
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\begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
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\item （函数极限的Cauchy收敛原理）$\forall \varepsilon > 0 \eqco \exists \delta > 0 \eqco \forall x, y \in U(x_0, \delta)$，有$\vert f(x) - f(y) \vert < \varepsilon$；
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||||
\item （Heine定理）$\exists A \in \realnum$，对$U(x_0, \rho)$中任意收敛到$x_0$的点列\setname{x_n}，有$\toinf f(x_n) = A$；
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||||
\item $\toxzero f(x) = A$。
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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先证（1）$\Rightarrow$（2）：
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设$x_n \in U(x_0, \rho)$，$\toinf x_n = x_0$。$\forall \varepsilon > 0$，由（1）
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\[\exists \delta > 0 \eqper \forall x, y \in U(x_0, \delta) \eqco \text{有} \vert f(x) - f(y) \vert < \varepsilon \eqper\]
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||||
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||||
对此$\delta$，因为$\toinf x_n = x_0$，所以$\exists N \in \naturalnum$，使$\forall n > N$，$x_n \in U(x_0, \delta)$。
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||||
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||||
那么$\forall m, n > N$，$x_m, x_n \in U(x_0, \delta)$，$\vert f(x_n) - f(x_m) \vert < \varepsilon$。因此\setname{f(x_n)}为Cauchy列，则\setname{f(x_n)}收敛，$\exists A \in \realnum$，满足$\toinf f(x_n) = A$。
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||||
设$\toinf y_n = x_0$，同理$\toinf f(y_n) = B$。只要证$A = B$即可。构造点列\setname{z_n}：
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$\left\{
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\begin{aligned}
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&z_{2n-1} = x_n\\
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&z_{2n} = y_n
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\end{aligned}
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\right.$，
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则$\toinf z_n = x_0$，\setname{f(z_n)}收敛，且$A = \toinf f(z_{2n-1}) = \toinf f(z_n) = \toinf f(z_{2n}) = B$。
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||||
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||||
再证（2）$\Rightarrow$（3）：
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||||
设$\toxzero f(x) \neq A$。则$\exists \varepsilon_0 > 0$，$\forall n \in \naturalnum$，$\exists x_n \in U\left(x_0, \dfrac{1}{n}\right)$满足
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||||
\[\vert f(x_n) - A \vert > \varepsilon_0 \eqper\]
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||||
此时，$\toinf x_n = x_0$，但$\toinf f(x_n) \neq A$，与（2）矛盾。
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（3）$\Rightarrow$（1）由定义即可得证。
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\end{proof}
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\begin{remark}
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若$\toinf x_n = \toinf y_n = x_0$则
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\begin{itemize}
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\item $\toinf f(x_n) = A \neq B = \toinf f(y_n) \Rightarrow \toxzero f(x)$不存在；
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||||
\item $\toinf f(x_n)$不存在$\Rightarrow$ $\toxzero f(x)$不存在。
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{remark}
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\begin{theorem}
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$\toxzero u(x) = a$，$\toxzero v(x) = b$，$a^b$有意义，则$\toxzero u(x)^{v(x)} = a^b$。
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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\begin{equation*}
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\toxzero u(x)^{v(x)} = \toxzero e^{v(x) \ln u(x)} = e^{\toxzero \left(v(x) \ln u(x)\right)} = e^{\toxzero v(x) \cdot \toxzero \ln u(x)} = e^{b \ln a} = a^b \eqper
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\end{equation*}
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\end{proof}
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\section{复合函数极限}
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\begin{proposition}[复合函数极限]
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设$\toxzero f(x) = A$，$\lim \limits_{t \to t_0} g(t) = x_0$并且满足附加条件：$f(x_0) = A$，或者在$t = t_0$附近（$t = t_0$除外）$g(t) \neq x_0$，这时复合函数有极限$\lim \limits_{t \to t_0} f(g(t)) = A$。
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\end{proposition}
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\section{无穷远处的极限}
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\begin{definition}[无穷远处的极限]
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\ \par
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\begin{enumerate}
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\item 设$f: (a, +\infty) \to \realnum$，记$\lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = A$，如果$\forall \varepsilon > 0$，$\exists M > 0$，使得$\forall x > M$都有$\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$，称$x$趋于正无穷时$f(x)$趋向于$A$。
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\item 设$f: (-\infty, a) \to \realnum$，记$\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = A$，如果$\forall \varepsilon > 0$，$\exists M > 0$，使得$\forall x < -M$都有$\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$，称$x$趋于负无穷时$f(x)$趋向于$A$。
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\item 设$\vert x \vert$充分大时$f(x)$有定义，记$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = A$，如果$\forall \varepsilon > 0$，$\exists M > 0$，使得$\forall \vert x \vert > M$都有$\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$，称$x$趋于无穷时$f(x)$趋向于$A$。
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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无穷远处的极限的性质与$x$趋于$x_0$时的极限类似，无穷远处的极限也有相应性质：唯一性、有界性、保号/保序性、四则运算性质、子列性质、Cauchy收敛原理、夹逼原理等。
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无穷远处的复合函数的极限：
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\begin{proposition}
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如果$\lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = A$，$\lim \limits_{t \to t_0} g(t) = + \infty$，则$\lim \limits_{t \to t_0} f(g(t)) = A$。
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\end{proposition}
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类似于单/双侧极限的关系，无穷远处极限也有同样的性质
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\begin{proposition}
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$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = A \Leftrightarrow \lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = A$。
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\end{proposition}
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\section{无穷大与无穷小}
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\begin{definition}[无穷大量]
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设函数$f$在$x_0$附近有定义（$x_0$除外），如果$\forall M > 0$，$\exists \delta > 0$，使得$\forall 0 < \vert x - x_0 \vert < \delta$都有
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) > M$，则称$x \to x_0$时$f(x) \to +\infty$，记为$\toxzero f(x) = +\infty$；
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\item $f(x) < -M$，则称$x \to x_0$时$f(x) \to -\infty$，记为$\toxzero f(x) = -\infty$；
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\item $\vert f(x) \vert > M$，则称$x \to x_0$时$f(x) \to \infty$，记为$\toxzero f(x) = \infty$。
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\end{enumerate}
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以上情况称$x \to x_0$时$f(x)$为无穷大量。
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\end{definition}
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\begin{definition}[无穷小量]
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若$\toxzero f(x) = 0$，则称$x \to x_0$时$f(x)$为无穷小量。
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\end{definition}
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\begin{remark}
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在其它极限过程（$x \to x_0^\pm, x \to \pm \infty$）中可以类似地定义无穷大/小量。
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\end{remark}
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\begin{corollary}
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在同一极限过程中$f(x)$为无穷大量$\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{f(x)}$为无穷小量。
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\end{corollary}
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