第六、七周。

02函数及其连续性.tex

@@ -502,14 +502,14 @@
 \end{corollary}
 
 \subsection{连续函数的运算}
-\begin{proposition}[四则运算]
+\begin{theorem}[四则运算]
     设函数$f$和$g$在$x_0$连续，则$f \pm g$和$fg$也在$x_0$连续。又若$g(x_0) \neq 0$，则$\dfrac{f}{g}$也在$x_0$连续。
-\end{proposition}
+\end{theorem}
 
-\begin{proposition}[复合运算]
+\begin{theorem}[复合运算]
     设函数$g(t)$在$t_0$连续，$f(x)$在$x_0 = g(t_0)$连续，则复合函数$(f \circ g)(t)$在$t_0$连续，也即
     \[\lim \limits_{t \to t_0} f(g(t)) = f(g(t_0)) = f(x_0) \eqper\]
-\end{proposition}
+\end{theorem}
 
 \begin{remark}
     连续函数与连续函数的复合是连续函数。
@@ -529,9 +529,9 @@
 \end{proposition}
 
 \subsection{反函数的连续性}
-\begin{proposition}
+\begin{theorem}
     令$i$是一个区间，设$f \in C(I)$严格单调，则反函数$\invertfunc{f}$在$J = f(I)$上处处连续且严格单调。
-\end{proposition}
+\end{theorem}
 
 \begin{proof}
     首先，$f$的连续性可以导出$J$是一个区间（介值性质）。其次，反函数的严格单调容易验证，下面证明在$J$上处处连续：
@@ -578,9 +578,9 @@
     对任意$a \in \realnum$，一般幂函数$x^a = e^{a\ln x} \in C(\realnum_+)$。
 \end{corollary}
 
-\begin{corollary}
+\begin{theorem}
     初等函数在其定义域内都是连续的，在定义域边界单侧连续。
-\end{corollary}
+\end{theorem}
 
 \section{连续与间断}
 $f(x)$在$x_0$处不连续称为间断。
@@ -656,9 +656,9 @@ $x = 0$是$f$的第二类间断点。
 \end{proof}
 
 \section{有界闭区间上连续函数的性质}
-\begin{proposition}[一致连续性]
+\begin{theorem}[一致连续性]
     设$f \in C[a, b]$，则$f$在$[a, b]$上一致连续。
-\end{proposition}
+\end{theorem}
 
 \begin{proof}
     反证法：若不然，则$\exists \varepsilon_0 > 0$及收敛于0的数列\setname{a_n}使得$\forall n \in \naturalnum$，$\exists x_n^\prime, x_n^{\prime \prime} \in [a, b]$满足$\vert x_n^\prime - x_n^{\prime \prime} \vert < a_n$，但$\vert f(x_n^\prime) - f(x_n^{\prime \prime}) \vert \geq \varepsilon_0$。
@@ -677,9 +677,9 @@ $x = 0$是$f$的第二类间断点。
     从而$f$在$[a, b]$上一致连续。
 \end{proof}
 
-\begin{proposition}[有界性质]
+\begin{theorem}[有界性质]
     设$f \in C[a, b]$，则$f$在$[a, b]$上有界。
-\end{proposition}
+\end{theorem}
 
 \begin{proof}
     反证法。假设$f$在$[a,b]$上无界，则$\forall n \in \naturalnum$，$\exists x_n \in [a, b]$，使得$\vert f(x_n) \vert > n$。
@@ -689,10 +689,10 @@ $x = 0$是$f$的第二类间断点。
     根据$f$的连续性，$\toinf f(x_{k_n}) = f(x^\ast)$，但是由上面的性质$\vert f(x_{k_n}) \vert > k_n$，$n = 1, 2, \cdots$。这个矛盾说明$f$必在$[a, b]$上有界。
 \end{proof}
 
-\begin{proposition}[最值可达]
+\begin{theorem}[最值可达]
     设$f \in C[a, b]$，则$\exists \underline{x}, \overline{x} \in [a, b]$使得
     \[f(\underline{x}) \leq f(x) \leq f(\overline{x}), \forall x \in [a, b]\eqper\]
-\end{proposition}
+\end{theorem}
 
 \begin{proof}
     已知$f$在$[a, b]$上有界，由确界原理，存在