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\chapter{场的数学}
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如果空间区域中每一点都对应某种物理量，则称空间形成一个该物理量的场。
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设点集$D \subset \realnum^3$，如果有函数$f: D \to \realnum$，则称$f$是$D$上的一个数量场；如果有$\bvec{F}: D \to \realnum^3$，那么就称\bvec{F} 是$D$上的一个向量场。这就是说，$D$上的数量场，就是定义在$D$上的数量函数；
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$D$上的向量场，是指定义在$D$上的向量值函数。
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\section{数量场的梯度}
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令
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\[\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)\]
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设数量场$u = u(x, y, z)$连续可微，那么$u(x, y, z)$的梯度
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\[\nabla u = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z} = \gra u\]
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\begin{proposition}
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设$f, g$可微$\alpha, \beta$为常数，Nabla运算满足下列规则：
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\begin{enumerate}
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\item $\nabla (\alpha f \pm \beta g) = \alpha \nabla f + \beta \nabla g$；
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\item $\nabla (fg) = f \nabla g + g \nabla f$；
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\item $\nabla \left(\dfrac{f}{g}\right) = \dfrac{g \nabla f - f \nabla g}{g^2}$，$g \neq 0$；
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\item 设$\varphi$是单变量函数，则$\nabla \varphi \circ f = \deriv{\varphi} \circ f \nabla f$。
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\section{向量场的散度}
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设向量场$\bvec{F} = (P, Q, R)$连续可微，定义向量场的散度
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\[\diverg \bvec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\]
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这可以形象地理解为
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\[\diverg \bvec{F} = \left(\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z}\right) \cdot (P, Q, R)\]
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因此我们利用Nabla算子可以将散度写成
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\[\diverg \bvec{F} = \nabla \cdot \bvec{F}\eqper\]
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\begin{proposition}
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散度的运算满足一下规则：
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\begin{enumerate}
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\item 设$\alpha, \beta$为常数，那么$\nabla \cdot (\alpha \bvec{u} + \beta \bvec{v}) = \alpha \nabla \cdot \bvec{u} + \beta \nabla \cdot \bvec{v}$；
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\item 设$f$是数量场，那么$\nabla \cdot (f \bvec{v}) = f \nabla \cdot \bvec{v} + \nabla f \cdot \bvec{v}$。
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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引入记号$\Delta = \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla$，即
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\[\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\]
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称之为Laplace算子。设$\Omega$为一区域，如果$\Omega$上的数量场$u$满足Laplace方程
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\[\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0\]
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那么称$u$是$\Omega$上的调和函数。
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\section{向量场的旋度}
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设连续可微的向量场$\bvec{F} = (P, Q, R)$定义向量场的旋度
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\[\rot \bvec{F} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\]
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也可以利用三阶行列式表示为
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\[\rot \bvec{F} =
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\begin{vmatrix}
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\bvec{i} & \bvec{j} & \bvec{k}\\[1ex]
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\dfrac{\partial }{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\[1em]
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P & Q & R
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\end{vmatrix}\]
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因此利用Nabla算子，上式可以写成
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\[\rot \bvec{F} = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) \times \left(P, Q, R\right) = \nabla \times \bvec{F}\eqper\]
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\begin{proposition}
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旋度满足下列运算法则：
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\begin{enumerate}
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\item 设$\alpha, \beta$都是常数，那么$\nabla \times (\alpha \bvec{u} + \beta \bvec{v}) = \alpha \nabla \times \bvec{u} + \beta \nabla \times \bvec{v}$；
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\item 设$f$是数量函数，则有$\nabla \times (f \bvec{v}) = f \nabla \times \bvec{v} + \nabla f \times \bvec{v}$。
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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考虑格林公式
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\[\int \limits_{\partial D} P \dif x + Q \dif y = \iint \limits_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \dif x \dif y\]
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对平面向量场$\bvec{v} = P \bvec{i} + Q \bvec{j}$，$\bvec{v} \cdot \dif \bvec{l} = P \dif x + Q \dif y$，$\rot \bvec{v} = \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) \bvec{k}$，因此格林公式可以写成
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\[\int \limits_{\partial D} \bvec{v} \cdot \dif \bvec{l} = \iint \limits_D \rot \bvec{v} \cdot \bvec{k} \dif x \dif y\]
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这称作格林公式的旋度形式。
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对向量场$\bvec{u} = -Q\bvec{i} + P \bvec{j}$，在区域$D$运用格林公式，有
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\[\int \limits_{\partial D} \bvec{u} \cdot \dif \bvec{l} = \iint \limits_D \rot \bvec{u} \cdot \bvec{k} \dif x \dif y\]
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在$\partial D$上任意一点$(x_0, y_0)$，设曲线在点的切向量为\bvec{\tau}，法向量为\bvec{n}。注意$\bvec{u} \perp \bvec{v}$，且$\bvec{\tau} \perp \bvec{n}$，简单画图我们可以得到
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\[\bvec{u} \cdot \bvec{\tau} = \bvec{v} \cdot \bvec{n}\]
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于是
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\begin{align*}
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\int \limits_{\partial D} \bvec{v} \cdot \bvec{n} \dif l & = \int \limits_{\partial D} \bvec{u} \cdot \bvec{\tau} \dif l\\
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& = \iint \limits_D \rot \bvec{u} \cdot \bvec{k} \dif x \dif y\\
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& = \iint \limits_D \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right) \dif x \dif y\\
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& = \iint \limits_D \diverg \bvec{v} \dif x \dif y
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\end{align*}
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格林公式就又可以写成
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\[\int \limits_{\partial D} \bvec{v} \cdot \bvec{n} \dif l = \iint \limits_D \diverg \bvec{v} \dif x \dif y\]
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这称为格林公式的散度形式。
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\section{有势场和势函数}
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首先，我们要引入一些概念。
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曲线积分
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\[\int \limits_L \bvec{v} \cdot \dif \bvec{l} = \int \limits_L P \dif x + Q \dif y\]
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的值只与曲线的起点$A$和终点$B$有关，而与曲线本身的路线无关，则称积分与路径无关。
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\begin{definition}
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向量场$\bvec{F} = (P, Q, R)$定义在区域$D \subset \realnum^3$上。如果存在$D$上的一个数量场$\varphi$，满足
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\[\gra \varphi(\bvec{p}) = \bvec{F}(\bvec{p})\]
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对一切$\bvec{p} \in D$成立，则称向量场\bvec{F}是有势场，数量场$\varphi$叫做向量场\bvec{F}的一个势函数。
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\end{definition}
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\begin{definition}
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设\bvec{F}是定义在区域$D \subset \realnum^3$上的向量场。如果对含于$D$中的任何一条封闭曲线$\Gamma$，都有
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\[\int \limits_\Gamma \bvec{F} \cdot \dif \bvec{l} = 0\]
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则称\bvec{F}是$D$上的一个保守场。
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\end{definition}
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\begin{definition}
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设\bvec{F}是定义在区域$D \subset \realnum^3$上的向量场。如果
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\[\rot \bvec{F} = \nabla \times \bvec{F} = \bvec{0}\]
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在$D$上处处成立，则称\bvec{F}为$D$上的一个无旋场。
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\end{definition}
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\begin{definition}
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设$P(x, y)$，$Q(x, y)$在区域$D$连续，如果存在可微函数$f(x, y)$，使得$P(x, y) \dif x + Q(x, y) \dif y$是$f(x, y)$的全微分，则称$f(x, y)$是$P\dif x + Q \dif y$的一个原函数。
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\end{definition}
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\begin{theorem}
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设\bvec{F}是定义在区域$D \subset \realnum^3$上的一个向量场，那么下面三条叙述等价：
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\begin{enumerate}
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\item \bvec{F}是有势场；
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\item \bvec{F}是无旋场；
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\item \bvec{F}是保守场。
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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\begin{theorem}
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设\bvec{F}是区域$\Omega$上的有势场，如果不计较常数加项，那么势函数是唯一的。
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\end{theorem}
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与向量场的势函数密切相关的是所谓恰当微分形式的概念。设
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\[P(x, y, z) \dif x + Q(x, y, z) \dif y + R(x, y, z) \dif z\]
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是定义在开集$D \subset \realnum^3$上的微分形式，如果存在$D$上的一个$0-$形式$\varphi$使得
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\[\dif \varphi = P \dif x + Q \dif y + R \dif z\]
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在$D$上处处成立，那么这个$1-$形式$P \dif x + Q \dif y + R \dif z$成为$D$上的一个恰当微分形式或简称恰当微分。
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求势函数主要有三种方法：
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\begin{enumerate}
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\item 利用积分与路径无关，直接平行于坐标轴积分；
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\item 凑微分，直接得出对应的原函数；
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\item 求不定积分，任意选择一点为起点积分。
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\end{enumerate} |