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\chapter{实数和数列极限}
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\section{实数及其性质}
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\begin{definition}
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（通用记号约定）数集：\par
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$\mathbf{N}$——自然数全体，关于加法和乘法运算封闭；\par
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$\mathbf{Z}$——整数全体，自然数集的扩充，$\mathbf{N} \subset \mathbf{Z}$。关于加法的逆运算（减法）也封闭；\par
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$\mathbf{Q}$——有理数全体，整数集的扩充。关于加、乘及其逆运算（减、除）封闭；\par
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$\mathbf{R}$——实数全体，有理数集的扩充，关于极限运算封闭。
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\end{definition}
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\begin{theorem}
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（有理数的稠密性）$\forall a, b \in \mathbf{R}$，$a < b$，$\exists r \in \mathbf{Q}$，s.t. $a < r < b$。
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\end{theorem}
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\begin{definition}
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（上界、下界、有界、无界） $A$为非空数集。若$\exists M \in \mathbf{R}$，s.t.$\forall x \in A$，有$x \leq M$，则称$M$为$A$的一个\textbf{上界}。若$\exists m \in R$，s.t.$\forall x \in A$，有$x \geq m$，则称$m$为$A$的一个\textbf{下界}。若$A$既有上界又有下界，则称 $A$ \text{有界}，否则称 $A$ \textbf{无界}。
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\end{definition}
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\begin{definition}
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（上确界$\sup A$、下确界$\inf A$）$A$为非空数集。称$A$的最小上界$\xi$为$A$的\textbf{上确界}，记作$\xi = \sup A$。称$A$的最大下界$\eta$为$A$的\textbf{下确界}，记作$\eta = \inf A$。
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\end{definition}
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\begin{remark}
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（$\sup A$，$\inf A$的等价定义）\par
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$\xi = \sup A$的充要条件：$\xi$是$A$的上界，且$\forall \varepsilon > 0$，$\exists x \in A$，s.t. $x > \xi - \varepsilon$。\par
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$\eta = \inf A$的充要条件：$\eta$是$A$的下界，且$\forall \varepsilon > 0$，$\exists x \in A$，s.t. $x < \eta + \varepsilon$。
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\end{remark}
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\begin{remark}
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若非空集合$A$无上界，则记$\sup A = + \infty$；若非空集合$A$无下界，则记$\inf A = - \infty$。
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\end{remark}
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\section{数列和收敛数列}
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\subsection{收敛和发散}
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\begin{definition}
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（收敛）设数列$\{ a_n \}$，$a \in \mathbf{R}$。若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \mathbf{N}$，使得$\forall n > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$则称数列数列$\{ a_n \}$\textbf{收敛}于$a$（$n$趋于无穷时），记为$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$或$a_n \to a \ (n \to \infty)$。$a$称为$\{ a_n \}$的极限。
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\end{definition}
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\begin{definition}
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（发散）若$\{ a_n \}$不收敛，则称数列$\{ a_n \}$\textbf{发散}。
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\end{definition}
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收敛的含义：对于$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$，
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\begin{enumerate}
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\item $\forall \varepsilon > 0$……$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$：$\varepsilon$可以任意小；
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\item $\exists n_0 \in \mathbf{N}$：$n$可能与$\varepsilon$有关；
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\item $\forall n > n_0$：$n$充分大之后。
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\end{enumerate}
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综上，只要$n$充分大，就能使$a_n$任意接近$a$。
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此外，$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$即$\pm (a_n - a) < \varepsilon$，这等价于$a - \varepsilon < a_n < a + \varepsilon$，$a_n \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon)$。
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\subsection{验证数列的极限}
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用定义验证数列的极限实际上就是在验证$a_n$与$A$的距离能随着$n$的增大而达到无限小，因此可以通过对任意给定的$\varepsilon > 0$通过求解不等式$\vert a_n - A \vert < \varepsilon$来确定$N$。因为这里不要求找到最小的$N$，我们可以通过适当放大来简化问题，即寻找关系$\left| a_n - a \right| < \varphi(n) < \varepsilon$。
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\begin{example}
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设$\exists m \in N_+$，验证$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^m} = 0$。
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\end{example}
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\begin{proof}[解]
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根据定义，$\forall \varepsilon > 0$，要使$$\left| \frac{1}{n^m} - 0 \right| = \frac{1}{n^m} < \varepsilon \eqco$$只需$$\frac{1}{\varepsilon} < n^m \eqco$$即$$n > \frac{1}{\sqrt[m]{\varepsilon}}\eqper$$可以取$$n_0 = \left[ \frac{1}{\sqrt[m]{\varepsilon}} \right]\eqco$$那么$\forall n > n_0$，必有$$n \geq n_0 + 1 > \frac{1}{\sqrt[m]{\varepsilon}} \eqco$$即$\left| \dfrac{1}{n^m} - 0 \right| < \varepsilon$，这也就说明$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^m} = 0$。
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\end{proof}
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\begin{example}
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验证$\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$。
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\end{example}
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\begin{proof}[解]
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首先，注意到$\sqrt[n]{n} > 1$，因此$\left| \sqrt[n]{n} - 1 \right| = \sqrt[n]{n} - 1$。
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此时我们需要考虑：对于任意给定的$\varepsilon$，$n$应该满足与$\varepsilon$怎样的数量关系才能使不等式$\sqrt[n]{n} - 1 < \varepsilon$成立？自然的想法是解这个不等式，而可以看出这个不等式并不容易解。因此我们希望可以找到一个形式简单的式子$\varphi(n)$满足$\sqrt[n]{n} - 1 < \varphi(n) < \varepsilon$，这样就可以以$\varphi(n)$为桥梁找到一个合适的$N$使$\forall n > N$不等式均成立。
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找$\varphi(n)$过程需要一些技巧：记$a_n = \sqrt[n]{n} - 1$，则
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\begin{align*}
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n & = (1 + a_n)^n\\
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& = 1 + na_n + \frac{n(n-1)}{2}a_n^2 + \cdots + a_n^n\\
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& > \frac{n(n-1)}{2}a_n^2 \eqper
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\end{align*}
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注意，上面放缩使用$a_n^2$项而非$a_n$项进行放缩是为了保证放缩后不等式还是一个一边是含$n$的式子（也就是$\varphi(n)$），一边是含$a_n$（也就是$\sqrt[n]{n} - 1$）的式子，这样才是一个有用的放缩。如果使用$a_n$项，得到的就是$1 > a_n$，对我们的解题没有任何帮助。
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于是我们可以通过将上面得到的不等式再进行变形来找到一个合适的$\varphi(n)$：$$a_n = (\sqrt[n]{n} - 1) < \sqrt{\frac{2}{n-1}}\eqper$$
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由此，若想$\sqrt[n]{n} - 1 < \varepsilon$，只需$\dfrac{2}{n-1} < \varepsilon$即可。这个新的不等式比之前的要好解得多。解这个不等式，我们可以得到$$n > \dfrac{2}{\varepsilon^2} + 1\eqco$$那么$\forall \varepsilon > 0$，我们只要取$$n_0 = \left[\dfrac{2}{\varepsilon^2}\right] + 1\eqco$$于是$\forall n > n_0$，都有$n \geq n_0 + 1 > \dfrac{2}{\varepsilon^2} + 1$，那么$$\left| \sqrt[n]{n} \right| < \sqrt{\dfrac{2}{n-1}} < \varepsilon \eqper$$
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\end{proof}
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\begin{remark}
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$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = A$\par
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$\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbf{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$\par
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$\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbf{N}$, s.t. 当$n \geq N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \varepsilon$\par
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$\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbf{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < k\varepsilon$（$k$为任意非零常数）\par
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$\Leftrightarrow \forall \varepsilon \in (0,1)$, $\exists N \in \mathbf{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$（强调$\varepsilon$``任意地小''的部分而不强调``任意地大''的部分）\par
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$\Leftrightarrow \forall k \in \mathbf{N}$, $\exists N = N(k) \in \mathbf{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \dfrac{1}{k}$。
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\end{remark}
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\section{由已知极限求未知极限}
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要从已知的极限验证未知的极限，我们首先需要明确其原理在于我们已知$\left| a_n - A \right|$可以无限小。所以我们需要把未知的极限转化为可利用已知极限这个性质的形式。
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\begin{example}
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已知$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = A$。证明：$\lim \limits_{n \to \infty} e^{a_n} = e^A$。
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\end{example}
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\begin{proof}[解]
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首先我们需要转化式子的形式，使其可以利用上我们已知的极限。可以发现：
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\begin{align}
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\left| e^{a_n} - e^A \right| < \varepsilon & \Leftrightarrow \left| e^{a_n - A} - 1 \right| < \varepsilon e^{-A} \notag\\
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& \Leftrightarrow 1 - \varepsilon e^{-A} < e^{a_n - A} < 1 + \varepsilon e^{-A} \notag\\
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& \Leftrightarrow \ln{(1 - \varepsilon e^{-A})} < a_n -A < \ln{(1 + \varepsilon e^{-A})} \tag{$\ast$} \label{1.3.1}
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\end{align}
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令$\delta = \min \{ - \ln{(1 - \varepsilon e^{-A})},\ln{(1 + \varepsilon e^{-A})}\}$，则$\delta > 0$，且当给定$\varepsilon$时，$\delta$也确定。由$\lim \limits_{n \to \infty}a_n = A$，对任意的$\varepsilon$，总有$N$足够大使得$\forall n > N$，$\left| a_n - A \right|$足够小，比$\delta$还小，即满足式子\eqref{1.3.1}。通过等价关系，这也就是说我们同时也找到了$N$使得$\forall n > N$，$\left| e^{a_n} - e^A \right| < \varepsilon$。由极限的定义，$\lim \limits_{n \to \infty} e^{a_n} = e^A$。
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\end{proof}
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