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\chapter{多变量函数的连续性}
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\section{欧氏空间}
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\begin{definition}[集合的积集]
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设$A, B$是两个集合，定义
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\[A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}\]
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并称之为$A$同$B$的积集。将$A \times A$简记为$A^2$。
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\end{definition}
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\begin{definition}[$n$维向量空间]
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我们定义
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\[\ndreal = \{(x_1, x_2, \dots, x_n) \mid x_i \in \realnum, i = 1, 2, \dots, n\}\]
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其中$n$数组$(x_1, x_2, \dots, x_n)$用$\bvec{x}$来代替，即
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\[\bvec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)\]
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称$\bvec{x}$为$\ndreal$中一个点，也称它是一个向量。
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$\ndreal$上可以定义零元与单位元，并在$\ndreal$上定义线性运算：对$\bvec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n), \bvec{y} = (y_1, y_2, \dots, y_n) \in \ndreal$，有
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（1）加法$\bvec{x} + \bvec{y} := (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \dots, x_n + y_n) \in \ndreal$，它满足交换律、结合律
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（2）数乘$\lambda \bvec{x} := (\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n) \in \ndreal, \lambda \in \realnum$，它满足分配律、结合律。
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带有线性运算的$\ndreal$称为$n$维向量空间。
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\end{definition}
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\begin{definition}[内积]
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对于任何$\bvec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n), \bvec{y} = (y_1, y_2, \dots, y_n)$，定义
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\[\brak{\bvec{x}, \bvec{y}} = \sum_{i = 1}^n x_i y_i\]
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这是一个是数，叫做向量$\bvec{x}$与$\bvec{y}$的内积。
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\end{definition}
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\begin{proposition}[内积的性质]
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对$\bvec{x}, \bvec{y}, \bvec{z} \in \ndreal, \alpha, \beta \in \realnum$，
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\begin{enumerate}
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\item 正定性：$\brak{\bvec{x}, \bvec{x}} \geq 0$，等号成立当且仅当$\bvec{x} = \bvec{0}$；
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\item 对称性：$\brak{\bvec{x}, \bvec{y}} = \brak{\bvec{y}, \bvec{x}}$；
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\item 线性性：$\brak{\alpha \bvec{x} + \beta \bvec{y}, \bvec{z}} = \alpha \brak{\bvec{x}, \bvec{z}} + \beta \brak{\bvec{y}, \bvec{z}}$
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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在向量空间$\ndreal$定义有内积之后，称为$n$维Euclid空间，简称欧氏空间。
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\begin{definition}[范数]
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对于任何向量$\bvec{x} \in \ndreal$，定义
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\[\norm{\bvec{x}} = \sqrt{\brak{\bvec{x}, \bvec{x}}} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}\]
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称为向量$\bvec{x}$的范数。
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\end{definition}
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\begin{proposition}[范式的性质]
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\begin{enumerate}
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\item $\norm{x} \geq 0$，式中等号当且仅当$\bvec{x} = \bvec{0}$成立；
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\item 对任何$\lambda \in \realnum$，$\norm{\lambda \bvec{x}} = \abs{\lambda} \norm{\bvec{x}}$；
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\item （三角不等式）$\norm{\bvec{x} + \bvec{y}} \leq \norm{\bvec{x}} + \norm{\bvec{y}}$；
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\item （Cauchy-Schwarz不等式、内积不等式）$\abs{\brak{\bvec{x}, \bvec{y}}} \leq \norm{\bvec{x}} \cdot \norm{\bvec{y}}$。
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{definition}[向量间的夹角与向量正交]
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对于两个向量$\bvec{x}, \bvec{y} \neq \bvec{0}$，存在唯一的$\theta \in [0, \pi]$使得
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\[\cos \theta = \frac{\brak{\bvec{x}, \bvec{y}}}{\norm{\bvec{x}} \norm{\bvec{y}}}\]
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这个$\theta$定义为$\bvec{x}$与$\bvec{y}$之间的夹角。
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$\brak{\bvec{x}, \bvec{y}} = 0$当且仅当$\theta = \dfrac{\pi}{2}$，这时称向量$\bvec{x}$与$\bvec{y}$正交。
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\end{definition}
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\begin{definition}[向量间的距离]
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定义$\norm{\bvec{x} - \bvec{y}}$为$\bvec{x}$与$\bvec{y}$两点之间的距离。
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\end{definition}
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\begin{proposition}[距离的性质]
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\begin{enumerate}
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\item 正定性：$\norm{\bvec{x} - \bvec{y}} \geq 0$，等号成立当且仅当$\bvec{x} = \bvec{y}$；
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\item 对称性：$\norm{\bvec{x} - \bvec{y}} = \norm{\bvec{y} - \bvec{x}}$；
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\item 三角不等式：$\norm{\bvec{x} - \bvec{y}} \leq \norm{\bvec{x} - \bvec{z}} + \norm{\bvec{z} - \bvec{y}}$。
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\section{欧氏空间中点列的极限}
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\begin{definition}
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设$\bvec{x}_i \in \ndreal, i = 1, 2, \dots$，称$\{\bvec{x}_k\}$是$\ndreal$中的点列。
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\end{definition}
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\begin{definition}[点列的极限]
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设$\{\bvec{x}_i\}$是$\ndreal$中的一个点列且$\bvec{a} \in \ndreal$。如果对任意给定的$\varepsilon > 0$，都存在$k_0 \in \naturalnum$，使得对任意的$k > k_0$有
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\[\norm{\bvec{x}_i - \bvec{a}} < \varepsilon\]
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则称点$\bvec{a}$是点列$\{\bvec{x}_i\}$的极限，记作
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\[\tolim{k}{\infty} \bvec{x}_k = \bvec{a}\quad \text{或} \quad \bvec{x}_k \to \bvec{a} (k \to \infty)\]
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\end{definition}
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\begin{corollary}
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记$\bvec{x}_k = (x_1^{(k)}, x_2^{(k)}, \dots, x_n^{(k)}), k = 1, 2, \dots, \bvec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$，则$\tolim{k}{\infty} \bvec{x}_k = \bvec{a}$的充分必要条件是$\tolim{k}{\infty} x_j^{(k)} = a_j, j = 1, 2, \dots, n$，即$\{\bvec{x}_k\}$收敛当且仅当其每个分量数列$\{x_j^{(k)}\}, j = 1, 2, \dots, n$收敛。
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\end{corollary}
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\begin{theorem}[收敛点列的唯一性]
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若$\{\bvec{x}_k\}$收敛，那么$\tolim{k}{\infty} \bvec{x}_k = \bvec{a}$唯一。
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\end{theorem}
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\begin{theorem}[收敛点列的有界性]
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若$\{\bvec{x}_k\}$收敛，则存在$M > 0$，满足对任意的$k$，$\norm{\bvec{x}_k} \leq M$。
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\end{theorem}
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\begin{theorem}[收敛点列的线性性]
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设$\tolim{k}{\infty} \bvec{x}_k = \bvec{a}$且$\tolim{k}{\infty} \bvec{y}_k = \bvec{b}$，那么对于任何$\alpha, \beta \in \realnum$有
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\[\tolim{k}{\infty} (\alpha \bvec{x}_k + \beta \bvec{b}_k) = \alpha \bvec{a} + \beta \bvec{b}\eqper\]
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\end{theorem}
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\begin{definition}[基本列]
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设$\{\bvec{x}_k\}$是$\ndreal$中的一个点列。如果对于任意给定的$\varepsilon > 0$，存在$k_0 \in \naturalnum$，对任意的$k, k^\prime > k_0$，都有$\norm{\bvec{x}_k - \bvec{x}_{k^\prime}} < \varepsilon$，则称$\{\bvec{x}_k\}$是一个基本（点）列。
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\end{definition}
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\begin{theorem}
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$\{\bvec{x}_k\}$为收敛点列的充分必要条件是$\{\bvec{x}_k\}$是基本点列。
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\end{theorem}
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\begin{theorem}[Bolzano-Weierstrass点列收敛原理]
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若$\{\bvec{x}_k\}$有界，则必有收敛子列。
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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以$n = 2$为例，记$\bvec{x}_k = (x_k, y_k) \in \realnum^2, k = 1, 2, \dots$。已知存在$M > 0$，使得\[\norm{\bvec{x}_k} \leq M, k = 1, 2, \dots\]
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即
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\[\abs{x_k}^2 + \abs{y_k}^2 \leq M^2, k = 1, 2, \dots\]
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因此$\{x_k\}, \{y_k\}$都是有界数列。首先存在$\{x_k\}$的收敛子列$\{x_{k^\prime}\}$，进而考虑有界子列$\{y_{k^\prime}\}$，从中得到收敛子列$\{y_{k^{\prime \prime}}\}$。而其对应的$\{x_{k^{\prime \prime}}\}$是收敛子列$\{x_{k^\prime}\}$的子列，必然也是收敛数列。
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由此得到$\{\bvec{x}_k\}$的收敛子列$\{\bvec{x}_{k^{\prime \prime}}\} = \{(x_{k^{\prime \prime}}, y_{k^{\prime \prime}})\}$。
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\end{proof}
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\section{欧氏空间中的开集与闭集}
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\begin{definition}[邻域]
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令$\bvec{a} \in \ndreal, r > 0$，则记$\bvec{a}$点的开邻域为
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\[B_r(\bvec{a}) := \{\bvec{x} \in \ndreal \mid \norm{\bvec{x} - \bvec{a}} < r\}\]
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记$\bvec{a}$的闭邻域为
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\[\overline{B_r}(\bvec{a}) := \{\bvec{x} \in \ndreal \mid \norm{\bvec{x} - \bvec{a}} \leq r\}\]
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记$\bvec{a}$的空心邻域为
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\[B_r(\hat{\bvec{a}}) := \{\bvec{x} \in \ndreal \mid 0 < \norm{\bvec{x} - \bvec{a}} < r\}\eqper\]
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\end{definition}
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\begin{definition}[内点、内部与开集]
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设$E \subset \ndreal$，如果点$\bvec{a} \in E$，并且存在$r > 0$使得$B_r(\bvec{a}) \subset E$，那么$\bvec{a}$称为$E$的一个内点。点集$E$的全体内点之集合记作$E\interior$，称之为$E$的内部。如果$E\interior = E$，那么称$E$为$\ndreal$中的开集。
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\end{definition}
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\begin{theorem}
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对任何集$E$，$E$的内部$E\interior$是开集。
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\end{theorem}
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\begin{theorem}
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在空间$\ndreal$中：
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\begin{enumerate}
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\item $\ndreal$，$\varnothing$是开集；
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\item 设$\{E_\alpha\}$是$\ndreal$的一个开子集族，其中指标$\alpha$来自一个指标集$I$，那么并集$\bigcup \limits_{\alpha \in I} E_\alpha$也是开集（任意多个开集的并是开集）；
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||
\item 设$E_1, E_2, \dots, E_m$是有限个开集，那么交集$\bigcap \limits_{i = 1}^m E_i$也是开集（有限个开集之交是开集）。
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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\begin{definition}[补集]
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设$E \subset \ndreal$，$E\compleset = \ndreal \setminus E$称$E\compleset$为点集$E$的补集。
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\end{definition}
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\begin{definition}[闭集]
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设$F \subset \ndreal$，如果$F\compleset$是开集，则称$F$是闭集。
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\end{definition}
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\begin{theorem}
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在空间$\ndreal$中：
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\begin{enumerate}
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\item $\varnothing$，$\ndreal$是闭集；
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\item 设$\{F_\alpha\}$是$\ndreal$的一个闭子集族，其中指标$\alpha$来自一个指标集$I$，那么交集$\bigcap \limits_{\alpha \in I} F_\alpha$也是闭集（任意多个闭集的交是闭集）；
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\item 设$F_1, F_2, \dots, F_m$是有限个闭集，那么交集$\bigcup \limits_{i = 1}^m F_i$也是闭集（有限个开集之并是闭集）。
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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\begin{definition}[凝聚点]
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设$E \subset \ndreal$，若$\bvec{a} \in \ndreal$满足对任意的$r > 0$，$B_r(\hat{\bvec{a}}) \cap E \neq \varnothing$，则称$\bvec{a}$是$E$的凝聚点。
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若$E$中的点不是$E$的凝聚点，称它为$E$的孤立点。
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\end{definition}
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\begin{definition}[导集、闭包]
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点集$E \subset \ndreal$的凝聚点的全体称为$E$的导集，记作$\deriv{E}$。记$\closure{E} = E \cup \deriv{E}$，称$\closure{E}$为$E$的闭包。
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\end{definition}
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\begin{theorem}
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$E$是闭集的充分必要条件是$\closure{E} = E$或$\deriv{E} \subset E$，即$E$的所有凝聚点都在$E$中。
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\end{theorem}
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\begin{theorem}
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$E\interior$是含于$E$的最大开集，$\closure{E}$是包含着$E$的最小闭集。
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\end{theorem}
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\begin{definition}[外部、边界点、边界]
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点集$E \subset \ndreal$，$\left(E\compleset\right)\interior$中的点称为$E$的外点，$E$的外点的全体称为$E$的外部；既不是$E$的内点也不是$E$的外点的点称为$E$的边界点，$E$的边界点的全体称为$E$的边界，记为$\partial E$。
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\end{definition}
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\begin{proposition}
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$\closure{E} = E \cup \partial E$。
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\end{proposition}
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\section{欧氏空间中点集的列紧集与紧致集}
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\begin{definition}[列紧集]
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设$E \subset \ndreal$，如果$E$中的任一点列都有一子列收敛于$E$中的一点，则称$E$是$\ndreal$中的列紧集。
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\end{definition}
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\begin{theorem}
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$\ndreal$中的集合$E$为列紧集的充分必要条件是$E$是有界闭集。
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\end{theorem}
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\begin{definition}[开覆盖]
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设$E \subset \ndreal$，$\mathscr{T} = \{G_\alpha\}$是$\ndreal$中的一个开集族。如果
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\[E \subset \bigcup \limits_{\alpha} G_\alpha\]
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我们称开集合族$\mathscr{T}$覆盖了$E$，或者称$\mathscr{T}$是$E$的一个开覆盖。
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\end{definition}
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\begin{definition}[紧致集]
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设$E \subset \ndreal$，若能从$E$的任一个开覆盖中选出有限个开集，它们仍能组成$E$的开覆盖，那么称$E$为一紧致集。
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\end{definition}
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\begin{theorem}
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$E \subset \ndreal$为紧致集的一个必要充分条件是$E$是有界闭集。
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\end{theorem}
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\begin{corollary}
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列紧集与紧致集是等价的，都是有界闭集。
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\end{corollary}
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\begin{remark}
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此后我们将避免提到紧致的概念，只应用列紧的性质。
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\end{remark}
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\begin{definition}[集合的直径]
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$F \in \ndreal$，若$F \neq \varnothing$，定义$F$的直径为
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\[d(F) = \sup \{\norm{\bvec{x} - \bvec{y}} \mid \bvec{x}, \bvec{y} \in F\}\]
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若$F = \varnothing$，定义$d(F) = 0$。
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\end{definition}
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\section{欧氏空间中点集的连通性}
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\begin{definition}[道路连通集]
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设$E \subset \ndreal$。如果对于任意两点$\bvec{p}, \bvec{q}, \in E$，都有一条连续曲线$l \in E$将$\bvec{p}$与$\bvec{q}$连接，则说点集$E$是道路连通的。所谓$\ndreal$中的连续曲线$l$，是指$l$可以表示为参数方程
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\[x_i = \varphi_i(t), i = 1, 2, \dots, n\]
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其中诸$\varphi_i$是区间$[a,b]$上的连续函数，且
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\begin{align*}
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\bvec{p} & = (\varphi_1(a), \varphi_2(a), \dots, \varphi_n(a))\\
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\bvec{q} & = (\varphi_1(b), \varphi_2(b), \dots, \varphi_n(b))\eqper
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\end{align*}
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\end{definition}
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\begin{definition}[区域]
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连通的开集称为开区域。开区域连通它的边界构成的集合（开集合的闭包）称为闭区域。
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\end{definition}
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\section{多元函数的极限}
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\begin{definition}[多元函数]
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设$D \subset \ndreal$，那么映射$f: D \to \realnum$称为$n$元函数，也记为
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\[f(\bvec{x}) = f(x_1, x_2, \dots, x_n), \bvec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in D\]
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||
其中$D$称为函数$f$的定义域，$f(D) \subset \realnum$称为$f$的值域。
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\end{definition}
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\begin{definition}[多元函数的极限]
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设$D \subset \ndreal$以及$f: D \to \realnum$。点$\bvec{a} \in \ndreal$是$D$的一个凝聚点（即$a \in \deriv{D}$，又设$l$是一个数。如果对任意的$\varepsilon > 0$，都存在$\delta > 0$，使得对任意的$\bvec{x} \in D \cap B_\delta(\hat{\bvec{a}})$，有
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\[\abs{f(\bvec{x}) - l} < \varepsilon\]
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就称函数$f$在点$\bvec{a}$处有极限$l$，或当$\bvec{x}$趋向于$\bvec{a}$时，$f(\bvec{x})$趋向于$l$，记作
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\[\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} f(\bvec{x}) = l\]
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或
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\[f(\bvec{x}) \to l(\bvec{x} \to \bvec{a})\eqper\]
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\end{definition}
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\begin{remark}
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$\bvec{a}$是$D$的凝聚点，因此不论$\delta$有多小，总有$\bvec{x} \in D$满足$0 < \norm{\bvec{x} - \bvec{a}} < \delta$。
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\end{remark}
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\begin{remark}
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如果$\tolim{P}{P_0} f(P) = a$，那么动点$P$按任意方式区域点$P_0$时，$f(P)$都存在极限且极限都是$a$。
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换言之，如果$P$以不同方式趋近于零时$f(P)$有不同的极限，那么极限不存在。
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\end{remark}
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\begin{definition}[无穷远处的极限]
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设$f: D \to \realnum$，且对任意的$r > 0$，$B_r(\bvec{0})\compleset \cap D \neq \varnothing$。如果对任意的$\varepsilon > 0$，总存在$M > 0$，使得对任意的$\bvec{x} \in D \cap B_M(\bvec{0})\compleset$，有
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\[\abs{f(\bvec{x}) - b} < \varepsilon\]
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则称$\tolim{\bvec{x}}{\infty} f(\bvec{x}) = b$。
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\end{definition}
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\section{多元函数极限的性质}
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\begin{theorem}[函数极限与点列极限]
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设$D \subset \ndreal$，$f: D \to \realnum$，点$\bvec{a} \in \deriv{D}$。函数极限
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\[\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} f(\bvec{x}) = l\]
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的充分必要条件是：对任何点列$\{\bvec{x}_i\} \subset D, \bvec{x}_i \neq \bvec{a} (i = 1, 2, 3, \dots)$，且$\bvec{x}_i \to \bvec{a}(i \to \infty)$数列极限
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\[\tolim{i}{\infty} f(\bvec{x}_i) = l\eqper\]
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\end{theorem}
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\begin{theorem}[函数四则运算的极限]
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设$f, g: D \to \ndreal$，$a \in \deriv{D}$，如果存在有限极限
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\[\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} f(\bvec{x}) = l, \tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} g(\bvec{x}) = m\]
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那么有
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\begin{enumerate}
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\item $\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} (f \pm g)(\bvec{x}) = l \pm m$；
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\item $\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} fg(\bvec{x}) = lm$；
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\item $\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \left(\dfrac{f}{g}\right)(\bvec{x}) = \dfrac{l}{m}$，其中$m \neq 0$。
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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\begin{theorem}[Cauchy收敛原理]
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设$D \subset \ndreal$，$\bvec{a} \in \deriv{D}$，$f:D \to \realnum$。那么极限$\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} f(\bvec{x})$存在的充分必要条件是：对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对任意的$\bvec{x}^\prime, \bvec{x}^{\prime \prime} \in D \cap B_\delta(\hat{\bvec{a}})$，有$\abs{f(\bvec{x}^\prime) - f(\bvec{x}^{\prime \prime})} < \varepsilon$。
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\end{theorem}
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\section{累次极限}
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\begin{definition}
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定义
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\begin{align*}
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\tolim{y}{y_0} \tolim{x}{x_0} f(x, y) & := \tolim{y}{y_0} \left(\tolim{x}{x_0} f(x, y)\right)\\
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||
\tolim{x}{x_0} \tolim{y}{y_0} f(x, y) & := \tolim{x}{x_0} \left(\tolim{y}{y_0} f(x, y)\right)\eqper
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\end{align*}
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\end{definition}
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\begin{remark}
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任意固定$y \neq y_0$若$\tolim{x}{x_0} f(x, y)$存在，记为
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\[g(y) = \tolim{x}{x_0} f(x, y)\]
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若$\tolim{y}{y_0} g(y) = A$，则$\tolim{y}{y_0} \tolim{x}{x_0} f(x, y) = \tolim{y}{y_0} g(y) = A$。
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\end{remark}
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\begin{remark}
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$\tolim{(x, y)}{(x_0, y_0)} f(x, y)$称为二重极限。
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\end{remark}
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\begin{theorem}
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若$f(x, y)$在$(x_0, y_0)$存在重极限与一个累次极限，则他们相等。
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\end{theorem}
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\begin{corollary}
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若$f(x, y)$在$(x_0, y_0)$重极限与两个累次极限都存在，则三者相等。
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\end{corollary}
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\begin{corollary}
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若$f(x, y)$在$(x_0, y_0)$的两个累次极限存在但不相等，则重极限不存在。
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\end{corollary}
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\section{多元函数的连续性}
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\begin{definition}[多变量连续函数]
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设$D \subset \ndreal$，$f: D \to \realnum$，$\bvec{a} \in D$。如果对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$使得当$\bvec{x} \in D \cap B_\delta (\bvec{a})$时，一定有
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\[\abs{f(\bvec{x}) - f(\bvec{a})} < \varepsilon\]
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则说函数$f$在点$\bvec{a}$连续，$\bvec{a}$称为$f$的一个连续点；$D$中$f$的非连续点称为$f$的间断点。
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如果$f$在$D$內每一点都连续，则称$f$在$D$上连续。
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\end{definition}
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\begin{definition}
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对区域（开或闭）$D \subset \ndreal$，定义记号
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\[C(D) = \{f: D \to \realnum \mid \text{$f$在$D$中每一点都连续}\}\eqper\]
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\end{definition}
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\begin{corollary}
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$C(D)$是一个线性空间，即对任意的$f, g \in C(D)$，$\alpha, \beta \in \realnum$，有$\alpha f + \beta g \in C(D)$。
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\end{corollary}
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\begin{corollary}
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连续函数经过四则运算（分母不为0）仍连续。
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\end{corollary}
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\begin{example}
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考察下列函数的连续性：
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\begin{enumerate}
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\item 常值函数$\phi(x, y) \equiv c$，在$\realnum^2$上处处连续；
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\item 线性函数$g(x, y) = ax + by$，在$\realnum^2$上处处连续；
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\item 多项式函数$P(x, y) = \dsum_{i = 0}^n \dsum_{j = 0}^m a_{ij} x^i y^j$在$\realnum^2$上处处连续；
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\item 有理函数$f(x, y) = \dfrac{P(x, y)}{Q(x, y)}$除去$Q(x, y)$零点外处处连续。
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\end{enumerate}
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\end{example}
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\begin{definition}[多元实值函数的一致连续]
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$D \subset \ndreal$，$f: D \to \realnum$。如果任意给定$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得凡是$\bvec{x}, \bvec{y} \in D$且$\norm{\bvec{x} - \bvec{y}} < \delta$时，便有$\abs{f(\bvec{x}) - f(\bvec{y})} < \varepsilon$，则称$f$在$D$上一致连续。
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\end{definition}
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\begin{corollary}
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若$f$在$D$上一致连续，则$f$在$D$中每一点都连续，即对任意$\bvec{a} \in \deriv{D}$，都有$\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} f(\bvec{x}) = f(\bvec{a})$。
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\end{corollary}
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\section{向量值函数的概念}
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\begin{definition}[向量值函数]
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$\boldf: D \to \realnum^m$称为向量值函数，也记为$\bvec{y} = \boldf(\bvec{x})$。其中$\boldf$的定义域$D \subset \ndreal$，值域$\boldf(D) \subset \realnum^m$。
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如果令$\bvec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in D$，$\bvec{y} = (y_1, y_2, \dots, y_m) \in \realnum^m$，那么函数也可以写成
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\[\left\{
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\begin{aligned}
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y_1 & = f_1(x_1, x_2, \dots, x_n)\\
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& \quad \vdots\\
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y_m & = f_m(x_1, x_2, \dots, x_n)
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\end{aligned}
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\right.\]
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这里$(f_1, f_2, \dots, f_m) = \boldf$。
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\end{definition}
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\begin{definition}[复合函数/复合映射]
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设$\bvec{g}: D \to \realnum^m$，$\boldf: \Omega \to \realnum^k$，$\Omega \subset \realnum^m$。如果$\bvec{g}(D) \subset \Omega$，则可以定义复合函数$\boldf \circ \bvec{g}: D \to \realnum^k$，也即$\boldf \circ \bvec{g} = \boldf(\bvec{g}(\bvec{x})), \bvec{x} \in D$。
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\end{definition}
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\section{向量值函数的极限与连续}
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\begin{definition}[向量值函数的极限]
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设$D \subset \ndreal$，$\boldf: D \to \realnum^m$，又设$\bvec{a} \in \deriv{D}, \bvec{p} \in \realnum^m$。如果对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$使得凡是$\bvec{x} \in D \cap B_\delta (\hat{\bvec{a}})$时便有
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\[\norm{\boldf(\bvec{x}) - \bvec{p}} < \varepsilon\]
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那么就称映射$\boldf$在点$\bvec{a}$有极限$\bvec{p}$，记为
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\[\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \boldf(\bvec{x}) = \bvec{p}\]
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也可以简记为
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\[\boldf(\bvec{x}) \to \bvec{p} (\bvec{x} \to \bvec{a})\eqper\]
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\end{definition}
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\begin{theorem}
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设$D \in \ndreal$，$\boldf: D \to \realnum^m$，$\bvec{a} \in \deriv{D}$，$\bvec{p} = (p_1, p_2, \dots, p_m) \in \realnum^m$，$\boldf = (f_1, f_2, \dots, f_m)$。那么
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\[\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \boldf(\bvec{x}) = \bvec{p}\]
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当且仅当
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\[\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} f_i(\bvec{x}) = p_i, i = 1, 2, \dots, m\eqper\]
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\end{theorem}
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\begin{theorem}[向量值函数极限的性质]
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设$D \subset \ndreal$，$\bvec{a}\in \deriv{D}$。又设$\boldf: D \to \realnum^m$以及$\bvec{g}: D \to \realnum^m$，并且
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\[\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \boldf(\bvec{x}) = \bvec{p}, \tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \bvec{g}(\bvec{x}) = \bvec{q}\]
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于是
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\begin{enumerate}
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\item 对任意$\alpha, \beta \in \realnum$，$\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \left[\alpha \bvec{p} + \beta \bvec{q}\right]$；
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\item $\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \brak{\boldf(\bvec{x}), \bvec{g}(\bvec{x})} = \brak{\bvec{p}, \bvec{q}}$。
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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\begin{theorem}[向量值函数的Cauchy收敛准则]
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设$D \subset \ndreal$，$\bvec{a} \in \deriv{D}$，$\boldf: D \to \realnum^m$。那么极限$\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \boldf(\bvec{x})$存在的充分必要条件时：对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对任意的$\bvec{x}^\prime, \bvec{x}^{\prime \prime} \in D \cap B_\delta (\hat{\bvec{a}})$，有$\norm{\boldf(\bvec{x}^\prime) - \boldf(\bvec{x}^{\prime \prime})} < \varepsilon$。
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\end{theorem}
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\begin{theorem}[向量值函数的点列判别准则]
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设$\boldf: \Omega \to \realnum^m$，$\Omega \subset \realnum^n$，$\bvec{x}_0 \in \Omega$。则$\boldf$在$\bvec{x}_0$处连续的充分必要条件是：对$\Omega$中任意点列$\{\bvec{x}_k\}$，当$\tolim{k}{\infty} \norm{\bvec{x}_k - \bvec{x}_0} = 0$时，有$\tolim{k}{\infty} \norm{\boldf(\bvec{x}_k) - \boldf(\bvec{x}_0)} = 0$。
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\end{theorem}
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\begin{definition}[连续向量值函数]
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点集$D \subset \ndreal$，$\boldf: D \to \realnum^m$，$\bvec{a} \in D$。如果对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$使得凡是$\bvec{x} \in D \cap B_\delta (\bvec{a})$时便有$\boldf (\bvec{x}) \in B_\varepsilon (\boldf(\bvec{a}))$，称映射$\boldf$在点$\bvec{a}$连续。
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当\boldf 在$D$中每一点都连续时，称映射\boldf 在$D$上连续。
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引入记号$C\left(D, \realnum^m\right) = \{\boldf: D \to \realnum^m \mid \text{\boldf 在$D$中每一点都连续}\}$。$D \subset \ndreal$可以是区域可以不是区域。特别地，有$C(D, \realnum^1) = C(D)$。
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\end{definition}
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\begin{corollary}
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$C(D, \realnum^m)$是一个线性空间，即对任意的$\boldf, \bvec{g} \in C(D, \realnum^m)$和任意的$\alpha, \beta \in \realnum$，有$\alpha \boldf + \beta \bvec{g} \in C(D, \realnum^m)$。
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\end{corollary}
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\begin{theorem}[连续映射的开集特征]
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设$D \subset \ndreal$是开集，$\boldf: D \to \realnum^m$。则\boldf 在$D$中处处连续的充分必要条件是对任意的$\realnum^m$中的开集$G$，原像集$\boldf^{-1}(G)$是$\ndreal$中的开集。这里
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\[\boldf^{-1} (G) = \{\bvec{x} \in D \mid \boldf(\bvec{x}) \in G\}\eqper\]
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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\textbf{先证明必要性}：设\boldf 在$D$中处处连续。取$G \subset \realnum^m$为开集，要证明$\boldf^{-1}(G)$是开集。不妨令$\boldf^{-1}(G) = \{\bvec{x} \in D \mid \boldf(\bvec{x}) \in G\} \neq \varnothing$。
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对任意的$\bvec{x}_0 \in \boldf^{-1}(G)$，往证$\bvec{x}_0 \in \left(\boldf^{-1}(G)\right)\interior$。
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注意$\boldf(\bvec{x_0}) \in G = G\interior$，即存在$\varepsilon > 0$使得$B_\varepsilon (\boldf(\bvec{x}_0)) \subset G$。由\boldf 的连续性，存在$\delta > 0$使得对任意的$\bvec{x} \in B_\delta(\bvec{x}_0)$都有$\norm{\boldf(\bvec{x}) - \boldf(\bvec{x}_0)} < \varepsilon$，即$\boldf(\bvec{x}) \in B_\varepsilon (\boldf(\bvec{x})) \subset G$。
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因而$B_\delta(\bvec{x}_0) \subset \boldf^{-1}(G)$，因而$\bvec{x}_0 \in (\boldf^{-1}(G))\interior$。
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\textbf{再证明充分性}：已知对任意的开集$G \subset \realnum^m$，原像集$\boldf^{-1}(G)$也是开集，要证\boldf 在$D$中处处连续。对任意的$\bvec{x}_0 \in D$，那么对任意的$\varepsilon > 0$，取开集$G = B_\varepsilon (\boldf(\bvec{x}_0)) \subset \realnum^m$。根据题设，原像集
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\[\boldf^{-1}(G) = \{\bvec{x} \mid \boldf(\bvec{x}) \in B_\varepsilon (\boldf(\bvec{x_0}))\}\]
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是开集。
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注意到$\bvec{x}_0 \in \boldf^{-1}(G)$，因此存在$\delta > 0$满足$B_\delta(\bvec{x}_0) \subset \boldf^{-1}(G)$。这说明对任意的$\bvec{x} \in B_\delta(\bvec{x}_0)$，$\boldf(\bvec{x}) \in B_\varepsilon(\boldf(\bvec{x}_0))$，即对任意的$\bvec{x}$满足$\norm{\bvec{x} - \bvec{x}_0} < \delta$，总有$\norm{\boldf(\bvec{x}) - \boldf(\bvec{x}_0)} < \varepsilon$。
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\end{proof}
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\begin{remark}
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连续映射不一定把开集映射为开集。
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\end{remark}
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\begin{theorem}[复合函数的极限]
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设$\bvec{g}: D \to \realnum^m$，$\boldf: \Omega \to \realnum^k$，$\bvec{G}(D) \subset \Omega$。又设$\bvec{a} \in \deriv{D}$，$\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \bvec{g}(\bvec{x}) = \bvec{p}, \tolim{\bvec{y}}{\bvec{p}} \boldf(\bvec{y}) = \boldf(\bvec{p})$，那么
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\[\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \boldf \circ \bvec{g}(\bvec{x}) = \tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \boldf(\bvec{g}(\bvec{x})) = \boldf(\bvec{p})\eqper\]
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\end{theorem}
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\section{连续函数/映射的性质}
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\begin{definition}[向量值函数的一致连续]
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对$D \subset \ndreal$，$\boldf: D \to \realnum^m$。如果对任意的$\varepsilon > 0$，存在$\delta$使得对任意的$\bvec{x}^\prime, \bvec{x}^{\prime \prime} \in D$只要满足$\norm{\bvec{x}^\prime - \bvec{x}^{\prime \prime} < \delta}$都有$\norm{\boldf(\bvec{x}^\prime) - \boldf(\bvec{x}^{\prime \prime})} < \varepsilon$，那么称映射\boldf 在$D$上一致连续。
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\end{definition}
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\begin{theorem}[紧致集上的连续性]
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设$D \subset \ndreal$，$\boldf: D \to \realnum^m$是$D$上的连续映射。如果$D$是紧致集，那么\boldf 在$D$上是一致连续的。
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\end{theorem}
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\begin{theorem}[连续映射的紧致性]
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设$D \subset \ndreal$，映射$\boldf: D \to \realnum^m$在$D$上连续。如果$D$的\ndreal 中的紧致集，那么$\boldf(D)$是$\realnum^m$中的紧致集。
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\end{theorem}
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\begin{corollary}
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若上面$m = 1$，则$f$在$D$上可达到最大最小值，即存在$\underline{\bvec{x}}, \overline{\bvec{x}} \in D$，使得对任意的$\bvec{x} \in D$，有
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\[f(\underline{\bvec{x}}) \leq f(\bvec{x}) \leq f(\overline{\bvec{x}})\eqper\]
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\end{corollary}
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\begin{proposition}
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一维欧氏空间中道路连通集$E$必是一个区间。
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\end{proposition}
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\begin{theorem}[连续映射的连通性质]
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设$\boldf \in C(D, \realnum^m)$，若$D$道路连通，则$\boldf(D)$也道路连通。
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\end{theorem}
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\begin{corollary}[数值函数介值定理]
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设$f \in C(D)$，若$D$道路连通，则$f$在$D$上有介值性质：令$\bvec{a}, \bvec{b} \in D$，$f(\bvec{a}) \neq f(\bvec{b})$，则对任意介于$f(\bvec{a})$与$f(\bvec{b})$之间的$r$，都存在$\bvec{c} \in D$使得$f(\bvec{c}) = r$。
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\end{corollary} |