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\chapter{多变量函数的微分学}
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\section{方向导数和偏导数}
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\begin{definition}[方向导数]
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设开集$D \subset \ndreal$，$f: D \to \realnum$，$\bvec{u} \in \realnum^n$且$\norm{\bvec{u}} = 1$，此时称$\bvec{u}$为一个方向，$\bvec{x}_0 \in D$。如果极限
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\[\tolim{t}{0} \frac{f(\bvec{x}_0 + t\bvec{u}) - f(\bvec{x})}{t}\]
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存在且有限，那么称这个极限是函数$f$在点$\bvec{x}_0$处沿方向$\bvec{u}$方向的导数，记为$\dfrac{\partial f}{\partial \bvec{u}} (\bvec{x}_0)$。
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\end{definition}
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\begin{remark}
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记$\phi(t) = f(\bvec{a} + t \tilde{\bvec{u}})$，则显然$\deriv{\phi}(0) = \dfrac{\partial f}{\partial \bvec{u}} (\bvec{a})$。
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\end{remark}
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\begin{definition}[偏导数]
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讨论下列单位坐标向量
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\begin{align*}
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\bvec{e}_1 & = (1, 0, 0, \dots, 0)\\
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\bvec{e}_2 & = (0, 1, 0, \dots, 0)\\
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& \quad \dots\\
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\bvec{e}_n & = (0, 0, \dots, 0, 1)
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\end{align*}
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称函数$f$在点$\bvec{x}_0$处沿方向$\bvec{e}_i$的方向导数为$f$在$\bvec{x}_0$处的第$i$个一阶偏导数，记作
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\[\frac{\partial f}{\partial x_i}(\bvec{x}_0)\]
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或
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\[D_i f(\bvec{x}_0)\]
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并称$D_i = \dfrac{\partial}{\partial x_i}$为第$i$个偏微分算子，$i = 1, 2, \dots, n$。
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\end{definition}
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\section{多变量函数的微分}
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我们希望与一维函数时类似，用一个切平面来线性近似一个曲面在某一点附近的值，即如果我们已知某空间曲面$S$的函数表示为$z = f(x, y)$，那么给定$S$上一点$P = (x_0, y_0, z_0)$，考察曲面上该点上的切平面的方程。首先其方程过$P$，因此应为
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\[z = z_0 + a(x - x_0) + b(y - y_0)\]
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其次作为切平面应该有$z_0 = f(x_0, y_0)$，同时
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\[f(x, y) - z_0 - a(x - x_0) - b(y - y_0) = o\left(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}\right)\]
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即
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\[f(x, y) - f(x_0, y_0) = a(x - x_0) + b(y - y_0) + o \left(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}\right)\]
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再进一步，我们希望线性地近似一个多元函数。假设我们一直函数$u = f(x, y, z)$。那么给定一点$P = (x_0, y_0, z_0)$，考察函数在该点附近的线性近似
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\[u = u_0 + a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0)\]
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如果它是已知函数在$P$的线性近似，那么$u_0 = f(x_0, y_0, z_0)$且
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\[f(x, y, z) - f(x_0, y_0, z_0) = a\Delta x + b \Delta y + c \Delta z + o\left(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\right)\]
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其中
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\[\Delta x = x - x_0, \Delta y = y - y_0, \Delta z = z - z_0\]
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\begin{definition}[函数的微分]
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设开集$f: D \to \realnum$。取定一点$\bvec{x}_0 \in D\interior$。如果存在$n$维向量$\bvec{A} = \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$，满足
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\[f(\bvec{x}_0 + \Delta \bvec{x}) - f(\bvec{x}_0) = \brak{\bvec{A}, \Delta \bvec{x}} + o(\norm{\Delta \bvec{x}})\]
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那么称函数$f$在点$\bvec{x}_0$处可谓，并称$\brak{\bvec{A}, \Delta \bvec{x}}$为$f$在$\bvec{x}_0$处的微分，记作
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\[\dif f(\bvec{x}_0) = \brak{\bvec{A}, \Delta \bvec{x}}\]
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其中$\bvec{A}$称为微分系数。
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\end{definition} |