更改数集的表示方式。

01实数和数列极限.tex

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 \section{实数及其性质}
 \begin{definition}
     （通用记号约定）数集：\par
-    $\mathbf{N}$——自然数全体，关于加法和乘法运算封闭；\par
-    $\mathbf{Z}$——整数全体，自然数集的扩充，$\mathbf{N} \subset \mathbf{Z}$。关于加法的逆运算（减法）也封闭；\par
-    $\mathbf{Q}$——有理数全体，整数集的扩充。关于加、乘及其逆运算（减、除）封闭；\par
-    $\mathbf{R}$——实数全体，有理数集的扩充，关于极限运算封闭。
+    $\mathbb{N}$——自然数全体，关于加法和乘法运算封闭；\par
+    $\mathbb{Z}$——整数全体，自然数集的扩充，$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$。关于加法的逆运算（减法）也封闭；\par
+    $\mathbb{Q}$——有理数全体，整数集的扩充。关于加、乘及其逆运算（减、除）封闭；\par
+    $\mathbb{R}$——实数全体，有理数集的扩充，关于极限运算封闭。
 \end{definition}
 
 \begin{theorem}
-    （有理数的稠密性）$\forall a, b \in \mathbf{R}$，$a < b$，$\exists r \in \mathbf{Q}$，s.t. $a < r < b$。
+    （有理数的稠密性）$\forall a, b \in \mathbb{R}$，$a < b$，$\exists r \in \mathbb{Q}$，s.t. $a < r < b$。
 \end{theorem}
 
 \begin{definition}
-    （上界、下界、有界、无界） $A$为非空数集。若$\exists M \in \mathbf{R}$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \leq M$，则称$M$为$A$的一个\textbf{上界}。若$\exists m \in R$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \geq m$，则称$m$为$A$的一个\textbf{下界}。若$A$既有上界又有下界，则称 $A$ \text{有界}，否则称 $A$ \textbf{无界}。
+    （上界、下界、有界、无界） $A$为非空数集。若$\exists M \in \mathbb{R}$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \leq M$，则称$M$为$A$的一个\textbf{上界}。若$\exists m \in R$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \geq m$，则称$m$为$A$的一个\textbf{下界}。若$A$既有上界又有下界，则称 $A$ \text{有界}，否则称 $A$ \textbf{无界}。
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
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 \section{数列和收敛数列}
 \subsection{收敛和发散}
 \begin{definition}
-    （收敛）设数列$\{ a_n \}$，$a \in \mathbf{R}$。若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \mathbf{N}$，使得$\forall n > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$则称数列数列$\{ a_n \}$\textbf{收敛}于$a$（$n$趋于无穷时），记为$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$或$a_n \to a \ (n \to \infty)$。$a$称为$\{ a_n \}$的极限。
+    （收敛）设数列$\{ a_n \}$，$a \in \mathbb{R}$。若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使得$\forall n > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$则称数列数列$\{ a_n \}$\textbf{收敛}于$a$（$n$趋于无穷时），记为$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$或$a_n \to a \ (n \to \infty)$。$a$称为$\{ a_n \}$的极限。
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
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 收敛的含义：对于$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$，
 \begin{enumerate}
     \item $\forall \varepsilon > 0$……$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$：$\varepsilon$可以任意小；
-    \item $\exists n_0 \in \mathbf{N}$：$n$可能与$\varepsilon$有关；
+    \item $\exists n_0 \in \mathbb{N}$：$n$可能与$\varepsilon$有关；
     \item $\forall n > n_0$：$n$充分大之后。
 \end{enumerate}
 综上，只要$n$充分大，就能使$a_n$任意接近$a$。
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 \begin{remark}
     $\lim \limits_{n \to \infty} a_n = A$\par
-    $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbf{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$\par
-    $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbf{N}$, s.t. 当$n \geq N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \varepsilon$\par
-    $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbf{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < k\varepsilon$（$k$为任意非零常数）\par
-    $\Leftrightarrow \forall \varepsilon \in (0,1)$, $\exists N \in \mathbf{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$（强调$\varepsilon$``任意地小''的部分而不强调``任意地大''的部分）\par
-    $\Leftrightarrow \forall k \in \mathbf{N}$, $\exists N = N(k) \in \mathbf{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \dfrac{1}{k}$。
+    $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$\par
+    $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n \geq N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \varepsilon$\par
+    $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < k\varepsilon$（$k$为任意非零常数）\par
+    $\Leftrightarrow \forall \varepsilon \in (0,1)$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$（强调$\varepsilon$``任意地小''的部分而不强调``任意地大''的部分）\par
+    $\Leftrightarrow \forall k \in \mathbb{N}$, $\exists N = N(k) \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \dfrac{1}{k}$。
 \end{remark}
 
 \section{由已知极限求未知极限}