第七周。

13多变量函数的连续性.tex

@@ -466,6 +466,10 @@
     连续映射不一定把开集映射为开集。
 \end{remark}
 
+\begin{remark}
+    上面的定理也等价于\boldf 在$D$中处处连续的充分必要条件是对任意的$\realnum^m$中的闭集$G$，原像集$\boldf^{-1}(G)$是$\ndreal$中的闭集。
+\end{remark}
+
 \begin{theorem}[复合函数的极限]
     设$\bvec{g}: D \to \realnum^m$，$\boldf: \Omega \to \realnum^k$，$\bvec{G}(D) \subset \Omega$。又设$\bvec{a} \in \deriv{D}$，$\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \bvec{g}(\bvec{x}) = \bvec{p}, \tolim{\bvec{y}}{\bvec{p}} \boldf(\bvec{y}) = \boldf(\bvec{p})$，那么
     \[\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \boldf \circ \bvec{g}(\bvec{x}) = \tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \boldf(\bvec{g}(\bvec{x})) = \boldf(\bvec{p})\eqper\]

14多变量函数的微分学.tex

@@ -41,9 +41,103 @@
 \[\Delta x = x - x_0, \Delta y = y - y_0, \Delta z = z - z_0\]
 
 \begin{definition}[函数的微分]
-    设开集$f: D \to \realnum$。取定一点$\bvec{x}_0 \in D\interior$。如果存在$n$维向量$\bvec{A} = \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$，满足
+    设$D \subset \ndreal$，$f: D \to \realnum$。取定一点$\bvec{x}_0 \in D\interior$。如果存在$n$维向量$\bvec{A} = (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，满足
     \[f(\bvec{x}_0 + \Delta \bvec{x}) - f(\bvec{x}_0) = \brak{\bvec{A}, \Delta \bvec{x}} + o(\norm{\Delta \bvec{x}})\]
-    那么称函数$f$在点$\bvec{x}_0$处可谓，并称$\brak{\bvec{A}, \Delta \bvec{x}}$为$f$在$\bvec{x}_0$处的微分，记作
+    那么称函数$f$在点$\bvec{x}_0$处可微，并称$\brak{\bvec{A}, \Delta \bvec{x}}$为$f$在$\bvec{x}_0$处的微分，记作
     \[\dif f(\bvec{x}_0) = \brak{\bvec{A}, \Delta \bvec{x}}\]
     其中$\bvec{A}$称为微分系数。
-\end{definition}
+\end{definition}
+
+设$f$在$\bvec{a}$点可微，$\dif f(\bvec{a}) = \brak{A, \Delta \bvec{x}}$，$A = (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_3)$。因此
+\[\tolim{\norm{\Delta \bvec{x}}}{0} \frac{\abs{f(\bvec{a} + \Delta \bvec{x}) - f(\bvec{a}) - \brak{A, \Delta \bvec{x}}}}{\norm{\Delta \bvec{x}}} = 0\]
+记
+\begin{align*}
+    \bvec{u}_1 & = (1, 0, 0, \dots, 0)\\
+    \bvec{u}_2 & = (0, 1, 0, \dots, 0)\\
+    & \quad \dots\\
+    \bvec{u}_n & = (0, 0, \dots, 0, 1)
+\end{align*}
+
+为确定微分系数，取$\Delta \bvec{x} = t \bvec{u}_i$，那么
+\[\norm{\Delta \bvec{x}} = \abs{t}, \brak{A, \Delta \bvec{x}} = \brak{A, t\bvec{u}_i} = t\lambda_i\]
+带入上式
+\[\tolim{t}{0} \abs{\frac{f(\bvec{a} + t \bvec{u}_i) - f(\bvec{a}) - t\lambda_i}{t}} = 0\]
+因此
+\[\lambda_i = \tolim{t}{0} \frac{f(\bvec{a} + t\bvec{u}_i) - f(\bvec{a})}{t} = \frac{\partial f}{\partial x_i} (\bvec{a}), i = 1, 2, \dots, n\eqper\]
+
+\begin{corollary}
+    设$f:D \to \realnum$，$\bvec{a} \in D\interior$。如果$f$在$\bvec{a}$点可微，则在$\bvec{a}$点的偏导数存在，且
+    \[\dif f(\bvec{a}) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bvec{a}) \Delta x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(\bvec{a}) \Delta x_2 + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_n}(\bvec{a}) \Delta x_n\eqper\]
+\end{corollary}
+
+\begin{corollary}
+    设$f:D \to \realnum$，$\bvec{a} \in D\interior$。如果$f$在$\bvec{a}$点可微，则$f$在$\bvec{a}$点连续。
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+    \begin{align*}
+        \abs{f(\bvec{a} + \Delta \bvec{x}) - f(\bvec{a})} & = \abs{\brak{A, \Delta \bvec{x}} + o(\norm{\Delta \bvec{x}})}\\
+        & \leq \norm{A} \cdot \norm{\Delta \bvec{x}} + \abs{o(\norm{\Delta \bvec{x}})} \to 0\qedhere
+    \end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    令
+    \[Jf(\bvec{x}) = (D_1 f(\bvec{x}), D_2f(\bvec{x}), \dots, D_n f(\bvec{x}))\]
+    并称它为函数$f$在点$\bvec{x}$处的Jacobian。函数的Jacobian也常记为$\gra f$或$\nabla f$，即
+    \[\gra f(\bvec{x}) = J f(\bvec{x})\]
+    称之为数量函数$f$的梯度。
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+    如果$f$在$\bvec{a}$点可微，则对于任意方向$\bvec{u} \in \ndreal$，$\norm{\bvec{u}} = 1$，那么
+    \[D_{\bvec{u}} f(\bvec{a}) = \frac{\partial f}{\partial \bvec{u}} (\bvec{a}) = \brak{\gra f(\bvec{a}), \bvec{u}}\eqper\]
+\end{proposition}
+
+\begin{corollary}
+    对于任意方向$\bvec{u}$，$\abs{D_{\bvec{u}} f(\bvec{a})} \leq \norm{\gra f(\bvec{a})}$。
+
+    若$\gra f(\bvec{a}) \neq 0$，$\bvec{u} = \frac{\gra f(\bvec{a})}{\norm{\gra f(\bvec{a})}}$，则$D_{\bvec{u}} f(\bvec{a}) = \norm{\gra f(\bvec{a})}$。
+
+    这说明，$f$在$\bvec{a}$的梯度向量的方向是$f$值增加最快的方向，大小是$f$在该点所有方向导数的最大值。
+\end{corollary}
+
+下面的命题给出了一个函数可微的必要条件。
+\begin{proposition}
+    若函数$f$在$\bvec{a}$点可微，则存在
+    \[\gra f(\bvec{a}) = (D_1 f(\bvec{a}), \dots, D_n f(\bvec{a}))\]
+    从而在该点的所有方向导数都存在。
+\end{proposition}
+
+下面的命题则给出了一个函数可微的充分条件。
+\begin{proposition}
+    如果$f$的每个偏导数$D_i f(\bvec{x}), i = 1, 2, \dots, n$在$\bvec{x} = \bvec{a}$点都存在且连续，则$f$在$\bvec{a}$点可微。
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    以$n = 2$为例。在$P = (a, b)$点附近考虑函数$f(x, y)$：
+    \[f(a + \Delta x, b + \Delta y) - f(a, b) = f(a + \Delta x, b + \Delta y) - f(a + \Delta x, b) + f(a + \Delta x, b) - f(a, b)\]
+    应用一元函数中值定理，存在$\eta, \theta \in (0, 1)$满足
+    \begin{align*}
+        f(a + \Delta x, b + \Delta y) - f(a + \Delta x, b) & = D_y f(a + \Delta x, b + \eta \Delta y) \Delta y\\
+        f(a + \Delta x, b) - f(a, b) & = D_x f(a + \theta \Delta x, b)\Delta x
+    \end{align*}
+        可以将上式凑配为
+    \begin{align*}
+        f(a + \Delta x, b + \Delta y) - f(a + \Delta x, b) & = D_y f(a, b) \Delta y + [D_y f(a + \Delta x, b + \eta \Delta y) - D_y f(a, b)] \Delta y\\
+        f(a + \Delta x, b) - f(a, b) & = D_x f(a, b) \Delta x + [D_x f(a + \theta \Delta x, b) - D_x f(a, b)] \Delta x
+    \end{align*}
+    记
+    \begin{align*}
+        [\alpha] & = D_y f(a + \Delta x, b + \eta \Delta y) - D_y f(a, b)\\
+        [\beta] & = D_x f(a + \theta \Delta x, b) - D_x f(a, b)
+    \end{align*}
+    那么
+    \[f(a + \Delta x, b + \Delta y) - f(a, b) = D_x f(a, b) \Delta x + D_y f(a, b) \Delta y + [\alpha] \Delta x + [\beta] \Delta y\]
+    于是我们只需证明$[\alpha] \Delta x + [\beta] \Delta y = o\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)$。我们已知$D_x f(x, y), D_y f(x, y)$在$P = (a, b)$点连续，因此
+    \[\frac{\abs{[\alpha]\Delta x + [\beta] \Delta y}}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} \leq \abs{[\alpha]} + \abs{[\beta]} \to 0\]
+    综上，
+    \[f(a + \Delta x, b + \Delta y) - f(a, b) = D_x f(a, b) \Delta x + D_y f(a, b) \Delta y + o\left[\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\right] \eqper \qedhere\]
+\end{proof}
+
+总结起来，偏导数在$\bvec{a}$点都连续可以推出函数在$\bvec{a}$点可微，进而可以推出函数在$\bvec{a}$点连续，也可以推出函数在$\bvec{a}$点所有方向导数都存在。

高等微积分.tex

@@ -64,6 +64,7 @@
 \newcommand{\boldf}{\ensuremath{\bvec{f}}}
 
 \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
+\DeclareMathOperator{\gra}{grad}
 
 \title{{\Huge{\textbf{高等微积分}}}}
 \author{}